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Pré-álgebra

Assunto: Pré-álgebra > Tema 11

Lição 5: Expoentes negativos
Matemática
Pré-álgebra
Potências, raízes e notação científica
Expoentes negativos
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Revisão sobre expoentes negativos

Google Classroom
Revê os conceitos básicos sobre expoentes negativos e resolve alguns problemas práticos. 

Definição de potências negativas

Definimos uma potência negativa como o inverso multiplicativo da base elevado ao simétrico aditivo do expoente:
x, start superscript, minus, n, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, x, start superscript, n, end superscript, end fraction, para x, does not equal, 0
Queres aprender mais sobre esta definição? Vê este vídeo.

Exemplos

  • 3, start superscript, minus, 5, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 3, start superscript, 5, end superscript, end fraction
  • start fraction, 1, divided by, 2, start superscript, 8, end superscript, end fraction, equals, 2, start superscript, minus, 8, end superscript
  • y, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, y, squared, end fraction
  • left parenthesis, start fraction, 8, divided by, 6, end fraction, right parenthesis, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, left parenthesis, start fraction, 6, divided by, 8, end fraction, right parenthesis, cubed

Pratica

Problema 1
  • Atual
Seleciona a expressão equivalente.
4, start superscript, minus, 3, end superscript, equals, question mark
Seleciona a opção correta.

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Um pouco de intuição

Mas porque é que definimos os expoentes negativos desta forma? Aqui estão algumas justificações:

Justificação 1: Padrões

n2, start superscript, n, end superscript
32, cubed, equals, 8
22, squared, equals, 4
12, start superscript, 1, end superscript, equals, 2
02, start superscript, 0, end superscript, equals, 1
minus, 12, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
minus, 22, start superscript, minus, 2, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
Repara que 2, start superscript, n, end superscript é dividido 2 de cada vez que reduzimos n. Este padrão continua mesmo quando n é zero ou negativo.

Justificação 2: Propriedades dos expoentes

Recorda que start fraction, x, start superscript, n, end superscript, divided by, x, start superscript, m, end superscript, end fraction, equals, x, start superscript, n, minus, m, end superscript. Logo...
2223=22−3=2−1\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=2^{2-3} \\\\ &=2^{-1} \end{aligned}
Também sabemos que
2223=2⋅22⋅2⋅2=12\begin{aligned} \dfrac{2^2}{2^3}&=\dfrac{\cancel 2\cdot\cancel 2}{\cancel 2\cdot\cancel 2\cdot 2} \\\\ &=\dfrac12 \end{aligned}
E portanto obtemos 2, start superscript, minus, 1, end superscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction.
Mais ainda, recorda que x, start superscript, n, end superscript, dot, x, start superscript, m, end superscript, equals, x, start superscript, n, plus, m, end superscript. Logo...
22⋅2−2=22+(−2)=20=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^{2+(-2)} \\\\ &=2^0 \\\\ &=1 \end{aligned}
E de facto, de acordo com a definição...
22⋅2−2=22⋅122=2222=1\begin{aligned} 2^2\cdot 2^{-2}&=2^2\cdot\dfrac{1}{2^2} \\\\ &=\dfrac{2^2}{2^2} \\\\ &=1 \end{aligned}

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