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Geometria 2

Assunto: Geometria 2 > Tema 8

Lição 7: Ângulos inscritos
Matemática
Geometria 2
Círculos
Ângulos inscritos
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Demonstração do teorema do ângulo inscrito

Google Classroom
Demonstração de que a amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude de um ângulo ao centro correspondente ao mesmo arco.

Primeiros passos

Antes de começarmos a falar da prova, vamos certificar-nos de que conhecemos alguns termos esquisitos sobre círculos.
Vamos usar três letras para designar os seguintes termos: o ângulo ao centro, o arco que é intersetado e o ângulo inscrito que interseta o mesmo arco.
Usa a imagem abaixo para atribuir as variáveis aos termos respetivos.

Bom trabalho! Vamos usar estes termos no resto do artigo.

Aquilo que vamos demonstrar

Estamos prestes a demonstrar o que acontece quando um ângulo inscrito left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis e um ângulo ao centro left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis intersetam o mesmo arco: A medida do ângulo ao centro é o dobro da medida do ângulo inscrito.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Visão geral da demonstração

Para demonstrar que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd para todo o start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff e start color #11accd, \psi, end color #11accd (tal como definimos acima), precisamos de considerar três casos separados:
Caso ACaso BCaso C
Juntos, estes casos correspondem a todas as situações possíveis onde um ângulo inscrito e um ângulo ao centro intersetam o mesmo arco.

Caso A: O diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Passo 1: Encontrar o triângulo isósceles.

Os segmentos start color #e84d39, open bracket, B, C, close bracket, end color #e84d39 e start color #e84d39, open bracket, B, D, close bracket, end color #e84d39 são ambos raios, portanto têm o mesmo comprimento. Isto significa que open bracket, C, B, D, close bracket é isósceles, o que também significa que os ângulos da base são congruentes:
C, with, \widehat, on top, equals, D, with, \widehat, on top, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Passo 2: Encontrar o ângulo raso.

O ângulo angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 é raso, portanto
θ+DB^C=180∘DB^C=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + D\widehat BC &= 180^\circ \\\\ D\widehat BC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Passo 3: Escreve uma equação e resolve em ordem a start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Os ângulos internos de open bracket, C, B, D, close bracket são start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd, e left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, e sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180, degrees.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Boa. Completámos a nossa demonstração para o Caso A. Só faltam mais dois casos!

Caso B: O diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Passo 1: Traça um diâmetro.

Usando o diâmetro, vamos dividir start color #11accd, \psi, end color #11accd em start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd e start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd e start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff em start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff e start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff da seguinte forma:

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

No nosso diagrama, o diâmetro divide o círculo em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio no diâmetro. Esta é a mesma situação do caso Caso A, portanto sabemos que
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
e
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
dado o que aprendemos Caso A.

Passo 3: Deduzir a fórmula.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Adicionar (1) e (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Agrupar as variaˊveisθ=2ψθ=θ1+θ2 e ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Adicionar (1) e (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Agrupar as variáveis} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ e } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
O Caso B está completo. Já só sobra um caso!

Caso C: O diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito

Passp 1: Traça o diâmetro.

Usando o diâmetro, vamos criar dois ângulos novos: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 e start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10 da seguinte forma:

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

De forma semelhante ao que fizemos no Caso B, criámos um diagrama que nos permite fazer uso daquilo que aprendemos no Caso A. A partir deste diagrama, sabemos o seguinte:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Passo 3: Substitui e simplifica.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
E parabéns! Demonstrámos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd nos três casos.

Vamos recapitular

O nosso objetivo inicial era demonstrar que a medida do ângulo ao centro é o dobro da medida de um ângulo inscrito, quando ambos intersetam o mesmo arco.
Começámos por estabelecer três casos que, juntos, representavam todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo ao centro intersetam o mesmo arco.
Caso ACaso BCaso C
No Caso A, encontrámos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir daí, escrevemos umas equações usando start color #11accd, \psi, end color #11accd e start color #7854ab, theta, end color #7854ab. Com poucos cálculos, demonstrámos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
Nos casos B e C, traçámos um diâmetro:
Caso BCaso C
Isto fez com que fosse possível usar o nosso resultado do Caso A, que foi o que fizemos. Tanto no Caso B como no Caso C, escrevemos as equações que correspondiam às variáveis nas figuras, o que foi possível apenas por causa do que já tínhamos aprendido no Caso A. Depois de termos escrito as nossas equações, fizemos alguns cálculos para mostrar que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

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