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Demonstração do teorema do ângulo inscrito

Demonstração de que a amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude de um ângulo ao centro correspondente ao mesmo arco.

Primeiros passos

Antes de começarmos a falar da prova, vamos certificar-nos de que conhecemos alguns termos esquisitos sobre círculos.
Vamos usar três letras para designar os seguintes termos: o ângulo ao centro, o arco que é intersetado e o ângulo inscrito que interseta o mesmo arco.
Usa a imagem abaixo para atribuir as variáveis aos termos respetivos.
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Bom trabalho! Vamos usar estes termos no resto do artigo.

Aquilo que vamos demonstrar

Estamos prestes a demonstrar o que acontece quando um ângulo inscrito (ψ) e um ângulo ao centro (θ) intersetam o mesmo arco: A medida do ângulo ao centro é o dobro da medida do ângulo inscrito.
θ=2ψ

Visão geral da demonstração

Para demonstrar que θ=2ψ para todo o θ e ψ (tal como definimos acima), precisamos de considerar três casos separados:
Caso ACaso BCaso C
Juntos, estes casos correspondem a todas as situações possíveis onde um ângulo inscrito e um ângulo ao centro intersetam o mesmo arco.

Caso A: O diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, ψ

Passo 1: Encontrar o triângulo isósceles.

Os segmentos [BC] e [BD] são ambos raios, portanto têm o mesmo comprimento. Isto significa que [CBD] é isósceles, o que também significa que os ângulos da base são congruentes:
C^=D^=ψ

Passo 2: Encontrar o ângulo raso.

O ângulo ABC é raso, portanto
θ+DB^C=180DB^C=180θ

Passo 3: Escreve uma equação e resolve em ordem a ψ.

Os ângulos internos de [CBD] são ψ, ψ, e (180θ), e sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180.
ψ+ψ+(180θ)=1802ψ+180θ=1802ψθ=02ψ=θ
Boa. Completámos a nossa demonstração para o Caso A. Só faltam mais dois casos!

Caso B: O diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, ψ

Passo 1: Traça um diâmetro.

Usando o diâmetro, vamos dividir ψ em ψ1 e ψ2 e θ em θ1 e θ2 da seguinte forma:

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

No nosso diagrama, o diâmetro divide o círculo em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio no diâmetro. Esta é a mesma situação do caso Caso A, portanto sabemos que
(1)θ1=2ψ1
e
(2)θ2=2ψ2
dado o que aprendemos Caso A.

Passo 3: Deduzir a fórmula.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Adicionar (1) e (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Agrupar as variáveisθ=2ψθ=θ1+θ2 e ψ=ψ1+ψ2
O Caso B está completo. Já só sobra um caso!

Caso C: O diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito

Passp 1: Traça o diâmetro.

Usando o diâmetro, vamos criar dois ângulos novos: θ2 e ψ2 da seguinte forma:

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

De forma semelhante ao que fizemos no Caso B, criámos um diagrama que nos permite fazer uso daquilo que aprendemos no Caso A. A partir deste diagrama, sabemos o seguinte:
(1)θ2=2ψ2
(2)(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)

Passo 3: Substitui e simplifica.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ
E parabéns! Demonstrámos que θ=2ψ nos três casos.

Vamos recapitular

O nosso objetivo inicial era demonstrar que a medida do ângulo ao centro é o dobro da medida de um ângulo inscrito, quando ambos intersetam o mesmo arco.
Começámos por estabelecer três casos que, juntos, representavam todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo ao centro intersetam o mesmo arco.
Caso ACaso BCaso C
No Caso A, encontrámos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir daí, escrevemos umas equações usando ψ e θ. Com poucos cálculos, demonstrámos que θ=2ψ.
Nos casos B e C, traçámos um diâmetro:
Caso BCaso C
Isto fez com que fosse possível usar o nosso resultado do Caso A, que foi o que fizemos. Tanto no Caso B como no Caso C, escrevemos as equações que correspondiam às variáveis nas figuras, o que foi possível apenas por causa do que já tínhamos aprendido no Caso A. Depois de termos escrito as nossas equações, fizemos alguns cálculos para mostrar que θ=2ψ.

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