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Conteúdo principal

Introdução às expressões racionais

Aprende o que são as expressões racionais e os valores para os quais elas são indefinidas.

O que vais aprender nesta lição

Aqui, vamos introduzir as funções racionais. Vais aprender como determinar os valores para os quais uma função racional não está definida e como determinar o domínio destas funções.

O que é uma expressão racional?

Um polinómio é uma expressão que consiste na soma de constantes multiplicadas por potências de variáveis como x. A expressão 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1 é um polinómio, por exemplo.
Uma expressão racional é simplesmente o quociente entre dois polinómios. Por outras palavras, é uma fração em que o denominador e o numerador são ambos polinómios.
Aqui estão alguns exemplos de expressões racionais:
start fraction, 1, divided by, x, end fraction, start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction
Repara que não há restrições aos graus dos polinómios envolvidos. Por exemplo, o numerador pode ser uma constante.

Valores para os quais uma função racional não está definida

Considera a função racional f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
Conseguimos determinar o valor desta função para alguns valores de x. Por exemplo, vamos avaliar a função para x, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd, ou seja, calcular f, left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis.
2(1)+312=  51=5\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{~~5}{-1}\\ \\ &= \goldD{-5} \\ \end{aligned}
Portanto, para start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd, o valor de f é start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Agora, vamos tentar calcular f, left parenthesis, start color #11accd, 2, end color #11accd, right parenthesis, start color #11accd, end color #11accd.
2(2)+322=70=indefinido!\begin{aligned}\dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0}\\ \\ &=\goldD{\text{indefinido!}} \\ \end{aligned}
O valor start color #11accd, 2, end color #11accd faz com que o denominador da fração seja 0. Como a divisão por 0 é indefinida, a função f está indefinida para x, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.

Domínio de funções racionais

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores para os quais a sua expressão está definida.
As funções racionais estão definidas para todos os valores que não levem a que o denominador da expressão seja 0.
Por outras palavras, o domínio de uma função racional consiste no conjunto de todos os números reais exceto os que façam com que o denominador seja nulo.

Exemplo: Encontrar o domínio de f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

Vamos começar por encontrar os zeros da expressão do denominador.
(x3)(x+4)=0x3=0oux+4=0Lei do anulamento do produtox=3oux=4Isolar x\begin{aligned} &(x-3)(x+4)= 0 \\\\ &x-3=0 \quad \text{ou} \quad x+4=0 &&\small{\gray{\text{Lei do anulamento do produto}}}\\\\ &x = 3 \quad\text{ou} \quad x=-4 &&\small{\gray{\text{Isolar $x$}}}\end{aligned}
Neste caso, o domínio é o conjunto de todos os números reais exceto start text, 3, end text e start text, negative, 4, end text, ou seja, todos os reais tais que x, does not equal, 3, comma, minus, 4.

Testa o teu conhecimento

1) Qual é o domínio da função f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

2) Qual é o domínio da função f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

3) Qual é o domínio da função f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

Problemas desafio

4*) Qual é o domínio da função f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.

5*) Qual é o domínio da função f tal que f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction?
Seleciona a opção correta.
Seleciona a opção correta.