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Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 2

Lição 1: A unidade imaginária i

Introdução aos números imaginários

Aprende sobre a unidade imaginária i, sobre os números imaginários e sobre as raízes quadradas de números negativos.

Durante os teus estudos de matemática, deves ter notado que algumas equações quadráticas não têm soluções no conjunto dos números reais.

Por exemplo, tenta como puderes, mas nunca vais ser capaz de encontrar uma solução no conjunto dos números reais para a equação

x^{2} = - 1

. Isto acontece porque é impossível elevar um número real ao quadrado e obter um número negativo!

No entanto, a equação

x^{2} = - 1

tem solução num novo sistema numérico chamado números complexos.

Unidade imaginária

O número

i

, ou a unidade imaginária, é a base dos números complexos.

O número

i

está definido de forma a que as seguintes igualdades sejam verdadeiras:

$i = \sqrt{- 1}$ ‍
$i^{2} = - 1$ ‍

A segunda propriedade mostra-nos que o número

i

é de facto uma solução da equação

x^{2} = - 1

. Esta questão, anteriormente sem solução, pode agora ser resolvida ao adicionarmos a unidade imaginária!

Números imaginários puros

O número

i

não é o único! Tomando os múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar infinitamente mais números imaginários puros.

Por exemplo,

3 i

i \sqrt{5}

, e

- 12 i

são exemplos de números imaginários puros, ou de números da forma

b i

, onde

b

é um número real não nulo.

Elevar estes números ao quadrado permite-nos perceber como é que eles se relacionam com os números reais. Vamos investigar isto elevando o número

3 i

ao quadrado. As propriedades de expoentes inteiros permanecem as mesmas, por isso podemos elevar

3 i

ao quadrado e usá-las.

$\begin{aligned} (3 i)^{2} & = 3^{2} i^{2} \\ = 9 i^{2} \end{aligned}$ ‍

Usando o facto de

i^{2} = - 1

, podemos simplificar:

$\begin{aligned} = 9 i^{2} \\ = 9 (- 1) \\ = - 9 \end{aligned}$ ‍

O facto de

(3 i)^{2} = - 9

significa que

3 i

é uma raiz quadrada de

- 9

Testa o teu conhecimento

Calcula $(4 i)^{2}$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

Qual das seguintes é uma raiz quadrada de $- 16$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Assim, podemos ver que os números imaginários puros são as raízes quadradas de números negativos!

Simplificar números imaginários puros

A tabela abaixo mostra exemplos de números imaginários puros nas formas simplificada e não simplificada.

Forma não simplificada	Forma simplificada
$\sqrt{- 9}$ ‍	$3 i$ ‍
$\sqrt{- 5}$ ‍	$i \sqrt{5}$ ‍
$- \sqrt{- 144}$ ‍	$- 12 i$ ‍

Mas como é que simplificamos estes números imaginários puros?

Vamos olhar com mais atenção para o primeiro exemplo e ver se conseguimos compreender a simplificação.

Igualdade original	Raciocínio
$\begin{array}{r} \sqrt{- 9} = 3 i \end{array}$ ‍	A raiz quadrada de $- 9$ ‍ é um número imaginário. A raiz quadrada de $9$ ‍ é $3$ ‍, por isso a raiz quadrada de menos $9$ ‍ é $3$ ‍ unidades imaginárias, ou $3 i$ ‍.

A propriedade seguinte explica o "raciocínio" acima em termos matemáticos.

Para $a > 0$ ‍, $\sqrt{- a} = i \sqrt{a}$ ‍

Se juntarmos isto àquilo que já sabemos acerca da simplificação de raízes, podemos simplificar todos os números imaginários puros. Vamos ver um exemplo.

Exemplo

Simplifica

\sqrt{- 18}

Solução

Primeiro, vamos reparar que

\sqrt{- 18}

é um número imaginário, pois é a raiz quadrada de um número imaginário. Portanto, podemos começar por reescrever

\sqrt{- 18}

como

i \sqrt{18}

De seguida, podemos simplificar

\sqrt{18}

usando o que já sabemos acerca da simplificação de raízes.

Os cálculos estão mostrados abaixo.

\begin{aligned} \sqrt{- 18} & = i \sqrt{18} & Para todo o a > 0, \sqrt{- a} = i \sqrt{a} \\ = i \times \sqrt{9 \times 2} & 18 é o dobro de 9 \\ = i \sqrt{9} \times \sqrt{2} & \sqrt{a b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} quando a, b \geq 0 \\ = i \times 3 \times \sqrt{2} & \sqrt{9} = 3 \\ = 3 i \sqrt{2} & A multiplicação é comutativa \end{aligned}

Por isso, concluímos que

\sqrt{- 18} = 3 i \sqrt{2}

[Continuo confuso(a). Gostava de ver outro exemplo.]

Vamos resolver alguns exercícios

Problema 1

Simplifica

\sqrt{- 25}

[Preciso de ajuda!]

Problema 2

Simplifica

\sqrt{- 10}

[Preciso de ajuda!]

Problema 3

Simplifica

\sqrt{- 24}

[Preciso de ajuda!]

Mas porque é que os números imaginários existem?

A resposta é simples. A unidade imaginária

i

permite-nos encontrar soluções para várias equações que não têm soluções no conjunto dos números reais.

Isto pode parecer estranho, mas é bastante comum que equações não tenham solução num sistema numérico e tenham solução noutro sistema numérico mais geral.

Aqui estão alguns exemplos com os quais podes estar mais familiarizado.

Se considerarmos apenas o conjunto dos números naturais, a equação $x + 8 = 1$ ‍ não tem solução; precisamos dos números inteiros!
Apenas com o conjunto dos números inteiros, a equação $3 x - 1 = 0$ ‍ não tem solução; precisamos dos números racionais para isto!
Apenas com os números racionais, não podemos resolver $x^{2} = 2$ ‍. Assim, entram os números irracionais e o sistema numérico real!

E portanto, apenas com números reais, não podemos resolver

x^{2} = - 1

. Precisamos dos números imaginários para isto!

No teu percurso de estudos, vais começar a perceber a importância destes números.

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