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5.º ano

Assunto: 5.º ano > Tema 2

Lição 1: Propriedades das operações
Matemática
5.º ano
Álgebra
Propriedades das operações
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Introdução à propriedade associativa da multiplicação

Google Classroom
Pratica alterar a forma como os fatores de uma multiplicação estão agrupados e vê como isso afeta o produto.

Agrupamento de números

A imagem mostra start color #01a995, 3, end color #01a995 linhas com start color #e07d10, 2, end color #e07d10 pontos em cada linha. Podemos usar a expressão start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 para representar a tabela.
Esta imagem mostra igualmente a tabela start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10 copiada start color #7854ab, 4, end color #7854ab vezes.
Usamos a expressão left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab para representar a tabela.
Se contarmos os pontos, obtemos um total de 24.

Alteração dos agrupamentos

Será que obtemos o mesmo resultado se alterarmos os parênteses, agrupando os números de forma diferente?
Vamos reagrupar os números de maneira a que o start color #e07d10, 2, end color #e07d10 e o start color #7854ab, 4, end color #7854ab fiquem juntos: start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Também podemos desenhar uma tabela para representar esta expressão. Vamos começar com start color #e07d10, 2, end color #e07d10 linhas com start color #7854ab, 4, end color #7854ab pontos em cada linha. Esta tabela mostra start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Agora temos de copiar a tabela start color #01a995, 3, end color #01a995 vezes para representar a expressão start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis.
Se contarmos os pontos, ainda obtemos um total de 24.
Reagrupar não altera a resposta!
left parenthesis, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, right parenthesis, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #01a995, 3, end color #01a995, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, end color #e07d10, times, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, right parenthesis

Propriedade associativa

A regra matemática que nos permite reagrupar números num problema de multiplicação sem alterar a resposta é a propriedade associativa.
Vamos agrupar os números de duas formas diferentes no problema de multiplicação seguinte e mostrar que obtemos o mesmo produto de ambas as formas.
5, times, 4, times, 2
Vamos começar por agrupar o start color #11accd, 5, end color #11accd e o start color #11accd, 4, end color #11accd. Podemos calcular a expressão passo a passo.
empty space, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, start color #11accd, 20, end color #11accd, times, 2
equals, 40
Agora vamos agrupar o start color #7854ab, 4, end color #7854ab e o start color #7854ab, 2, end color #7854ab.
empty space, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis
equals, 5, times, start color #7854ab, 8, end color #7854ab
equals, 40
Obtemos o mesmo produto apesar de termos agrupado os números de duas formas diferentes.
As três expressões são iguais:
empty space, 5, times, 4, times, 2
equals, left parenthesis, start color #11accd, 5, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 2
equals, 5, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis

Vamos tentar alguns problemas

Problema 1
Quais das seguintes expressões são iguais a 6, times, 3, times, 4?
Seleciona todas as respostas corretas:

Agora vamos tentar calcular uma expressão de duas formas diferentes.
Problema 2
Preenche os espaços em branco para calcular a expressão left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, point
left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5space, equals, space
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
times, 5
empty spacespace, equals, space
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Agora calcula a mesma expressão agrupada de forma diferente.
Problema 3
Preenche os espaços em branco para calcular a expressão 3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis.
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesisspace, equals, space, 3, times
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
empty spacespace, equals, space
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

left parenthesis, start color #7854ab, 3, times, 2, end color #7854ab, right parenthesis, times, 5, equals, 30 e
3, times, left parenthesis, start color #1fab54, 2, times, 5, end color #1fab54, right parenthesis, equals, 30
Obtivemos o mesmo produto apesar de termos agrupado os números de duas formas diferentes.

Expressões equivalentes

Podemos usar a propriedade associativa para encontrar expressões equivalentes.
Vamos começar com a expressão 2, times, 2, times, 5.
Podemos agrupar esta expressão de duas formas, ambas equivalentes a 2, times, 2, times, 5:
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis
Calculando cada expressão passo a passo podemos encontrar outras expressões que são equivalentes.
left parenthesis, start color #11accd, 2, times, 2, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 4, end color #11accd, times, 5
2, times, left parenthesis, start color #e07d10, 2, times, 5, end color #e07d10, right parenthesis, equals, 2, times, start color #e07d10, 10, end color #e07d10
Então a nossa expressão original, 2, times, 2, times, 5, também é equivalente a 4, times, 5 e a 2, times, 10.
Problema 4
Quais das seguintes expressões são equivalentes a 8, times, 2, times, 4?
Seleciona todas as respostas corretas:

Porquê reagrupar?

Reagrupar pode tornar a resolução de um problema de multiplicação mais simples.
Vamos olhar para a expressão 4, times, 4, times, 5.
Podemos agrupar a expressão de duas formas:
left parenthesis, 4, times, 4, right parenthesis, times, 5
4, times, left parenthesis, 4, times, 5, right parenthesis
Se calcularmos a primeira expressão passo a passo obtemos: left parenthesis, start color #11accd, 4, times, 4, end color #11accd, right parenthesis, times, 5, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd, times, 5
Se calcularmos a segunda expressão passo a passo obtemos: 4, times, left parenthesis, start color #7854ab, 4, times, 5, end color #7854ab, right parenthesis, equals, 4, times, start color #7854ab, 20, end color #7854ab
Talvez seja mais fácil calcular o produto 4, times, 20 do que 16, times, 5.
Apesar de os números terem sido agrupados de forma diferente, ambas as expressões têm o mesmo produto.
4, times, 20, equals, 80
16, times, 5, equals, 80

Vamos tentar um problema

Problema 5
Como podemos agrupar a expressão 2, times, 3, times, 9?
Seleciona todas as respostas corretas:

Problema 6
Se não quisermos multiplicar por um número de dois algarismos para obter o produto final, como devemos agrupar os números?
Seleciona a opção correta.

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