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11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 8: Operações com funções racionais
Matemática
11.ºano
Funções Reais de Variável Real
Operações com funções racionais
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Divisão de expressões racionais

Google Classroom
Aprende a calcular o quociente de duas expressões racionais.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.
Podemos multiplicar expressões racionais como o fazemos para frações numéricas — fatorizando o numerador e o denominador, cancelando os fatores comuns a ambos e efetuar as multiplicações restantes no numerador e no denominador.
Se não estás familiarizado com isto, recomendamos os seguintes artigos:

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender a dividir expressões racionais.

Dividir frações

Para efetuar o quociente entre duas frações numéricas, podemos multiplicar o dividendo (a primeira fração) pelo inverso do divisor (a segunda fração). Por exemplo:
=29÷83=29⋅38Multiplicar pelo inverso=23⋅3⋅32⋅4Fatorizar os numeradores e os denominadores=23⋅3⋅32⋅4Eliminar fatores comuns=112Multiplicar\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\div{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Multiplicar pelo inverso}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Fatorizar os numeradores e os denominadores}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Eliminar fatores comuns}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Multiplicar}}} \end{aligned}
Este método pode também ser aplicado à divisão de expressões racionais.

Exemplo 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44÷9x10=3x44⋅109xMultiplicar pelo inverso=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xFatorizar os numeradores e os denominadores=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xEliminar fatores comuns=5x36Multiplicar\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\div\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Multiplicar pelo inverso}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Fatorizar os numeradores e os denominadores}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Eliminar fatores comuns}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Multiplicar}}} \end{aligned}
Não nos podemos esquecer de considerar possíveis restrições à variável x que possam aparecer. O quociente entre duas expressões racionais não está definido...
  • para qualquer valor para o qual alguma das expressões originais seja indefinida;
  • para qualquer valor que torne a expressão do divisor igual a zero.
Matematicamente falando, uma expressão da forma start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction é indefinida quando B, equals, 0 ou C, equals, 0 ou D, equals, 0.
Vamos analisar as duas expressões da divisão para determinar as restrições à variável x.
  • O dividendo, start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, está definido para qualquer valor de x.
  • O divisor, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction, está definido para qualquer valor de x e é 0 quando x, equals, 0.
Assim, podemos concluir que o quociente está definido para qualquer valor de x tal que x, does not equal, 0. A resposta final é:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction para x, does not equal, 0

Testa o teu conhecimento

1) Calcula e simplifica.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, divided by, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
para x, does not equal
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Vamos multiplicar a primeira expressão pelo inverso da segunda. Depois fatorizamos os denominadores e os numeradores, eliminamos os fatores comuns e multiplicamos o que restar. Por fim, teremos de considerar as restrições existentes.
=x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Multiplicar pelo inverso=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Fatorizar=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Eliminar fatores comuns=x−5x+5Multiplicar\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\div \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Multiplicar pelo inverso}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Fatorizar}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Eliminar fatores comuns}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Multiplicar}}} \end{aligned}
Vamos analisar as duas expressões desta divisão para determinar as restrições à variável x. Neste caso, é mais fácil encontrar as restrições fatorizando os numeradores e os denominadores.
  • O dividendo, start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction, está definido para x tal que x, does not equal, minus, 5 e x, does not equal, 2.
  • O divisor, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction, está definido para x tal que x, does not equal, 5 e tem valor 0 para x, equals, minus, 3.
Assim, podemos concluir que a expressão do quociente deve estar definida para x tal que x, does not equal, minus, 5, x, does not equal, minus, 3, x, does not equal, 2 e x, does not equal, 5.
No entanto, basta escrevermos x, does not equal, 5, x, does not equal, 2 e x, does not equal, minus, 3 como restrições. A restrição x, does not equal, minus, 5, continua implícita no denominador da expressão simplificada. A resposta final é:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 5 x, does not equal, 2 e x, does not equal, minus, 3

Testa o teu conhecimento

2) Calcula e simplifica.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, divided by, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Quais são as restrições à variável x na expressão resultante?
Seleciona todas as respostas corretas:

3) Calcula e simplifica.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, divided by, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Quais são as restrições à variável x na expressão resultante?
Seleciona todas as respostas corretas:

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