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11.ºano
Assunto: 11.ºano > Tema 2
Lição 8: Operações com funções racionais- Adição e subtração de expressões racionais: denominadores iguais
- Introdução à adição e subtração de expressões racionais
- Adicionar e subtrair expressões racionais: denominadores iguais
- Introdução à adição de expressões racionais com denominadores diferentes
- Adicionar expressões racionais: denominadores diferentes
- Subtração de expressões racionais: denominadores diferentes
- Adicionar e subtrair expressões racionais: denominadores diferentes
- Subtração de expressões racionais: denominadores fatorizados
- Adição e subtração de expressões racionais (avançado)
- Adicionar e subtrair expressões racionais: denominadores fatorizados
- Subtração de expressões racionais
- Adição e subtração de expressões racionais
- Multiplicação e divisão de expressões racionais: monómios
- Multiplicação de expressões racionais
- Divisão de expressões racionais
- Multiplicar e dividir expressões racionais (básico)
- Multiplicação de expressões racionais
- Divisão de expressões racionais
- Multiplicar e dividir expressões racionais
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Divisão de expressões racionais
Aprende a calcular o quociente de duas expressões racionais.
Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição
Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.
Podemos multiplicar expressões racionais como o fazemos para frações numéricas — fatorizando o numerador e o denominador, cancelando os fatores comuns a ambos e efetuar as multiplicações restantes no numerador e no denominador.
Se não estás familiarizado com isto, recomendamos os seguintes artigos:
O que vais aprender nesta lição
Nesta lição, vais aprender a dividir expressões racionais.
Dividir frações
Para efetuar o quociente entre duas frações numéricas, podemos multiplicar o dividendo (a primeira fração) pelo inverso do divisor (a segunda fração). Por exemplo:
Este método pode também ser aplicado à divisão de expressões racionais.
Exemplo 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction
Não nos podemos esquecer de considerar possíveis restrições à variável x que possam aparecer. O quociente entre duas expressões racionais não está definido...
- para qualquer valor para o qual alguma das expressões originais seja indefinida;
- para qualquer valor que torne a expressão do divisor igual a zero.
Matematicamente falando, uma expressão da forma start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction é indefinida quando B, equals, 0 ou C, equals, 0 ou D, equals, 0.
Vamos analisar as duas expressões da divisão para determinar as restrições à variável x.
- O dividendo, start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, está definido para qualquer valor de x.
- O divisor, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction, está definido para qualquer valor de x e é 0 quando x, equals, 0.
Assim, podemos concluir que o quociente está definido para qualquer valor de x tal que x, does not equal, 0. A resposta final é:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction para x, does not equal, 0
Testa o teu conhecimento
Exemplo 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction
Vamos multiplicar a primeira expressão pelo inverso da segunda. Depois fatorizamos os denominadores e os numeradores, eliminamos os fatores comuns e multiplicamos o que restar. Por fim, teremos de considerar as restrições existentes.
Vamos analisar as duas expressões desta divisão para determinar as restrições à variável x. Neste caso, é mais fácil encontrar as restrições fatorizando os numeradores e os denominadores.
- O dividendo, start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction, está definido para x tal que x, does not equal, minus, 5 e x, does not equal, 2.
- O divisor, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction, está definido para x tal que x, does not equal, 5 e tem valor 0 para x, equals, minus, 3.
Assim, podemos concluir que a expressão do quociente deve estar definida para x tal que x, does not equal, minus, 5, x, does not equal, minus, 3, x, does not equal, 2 e x, does not equal, 5.
No entanto, basta escrevermos x, does not equal, 5, x, does not equal, 2 e x, does not equal, minus, 3 como restrições. A restrição x, does not equal, minus, 5, continua implícita no denominador da expressão simplificada. A resposta final é:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 5 x, does not equal, 2 e x, does not equal, minus, 3
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