Introdução às expressões racionais (artigo)

O que vais aprender nesta lição

Aqui, vamos introduzir as funções racionais. Vais aprender como determinar os valores para os quais uma função racional não está definida e como determinar o domínio destas funções.

O que é uma expressão racional?

Um polinómio é uma expressão que consiste na soma de constantes multiplicadas por potências de variáveis como

x

. A expressão

3 x^{2} - 6 x - 1

é um polinómio, por exemplo.

Uma expressão racional é simplesmente o quociente entre dois polinómios. Por outras palavras, é uma fração em que o denominador e o numerador são ambos polinómios.

Aqui estão alguns exemplos de expressões racionais:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

Repara que não há restrições aos graus dos polinómios envolvidos. Por exemplo, o numerador pode ser uma constante.

Valores para os quais uma função racional não está definida

Considera a função racional

f

tal que

f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 2}

Conseguimos determinar o valor desta função para alguns valores de

x

. Por exemplo, vamos avaliar a função para

x = 1

, ou seja, calcular

f (1)

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Portanto, para

x = 1

, o valor de

f

- 5

Agora, vamos tentar calcular

f (2)

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = indefinido! \end{aligned}$ ‍

O valor

2

faz com que o denominador da fração seja

0

. Como a divisão por

0

é indefinida, a função

f

está indefinida para

x = 2

Domínio de funções racionais

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores para os quais a sua expressão está definida.

As funções racionais estão definidas para todos os valores que não levem a que o denominador da expressão seja

0

Por outras palavras, o domínio de uma função racional consiste no conjunto de todos os números reais exceto os que façam com que o denominador seja nulo.

Exemplo: Encontrar o domínio de $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

Vamos começar por encontrar os zeros da expressão do denominador.

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 ou x + 4 = 0 & Lei do anulamento do produto \\ x = 3 ou x = - 4 & Isolar x \end{aligned}$ ‍

Neste caso, o domínio é o conjunto de todos os números reais exceto $3$ ‍ e $-4$ ‍, ou seja, todos os reais tais que

x \neq 3, - 4

Testa o teu conhecimento

1) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 1}{x - 7}$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

2) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

3) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

Problemas desafio

4*) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

5*) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍?

[Preciso de ajuda!]

11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

Introdução às expressões racionais

O que vais aprender nesta lição

O que é uma expressão racional?

Valores para os quais uma função racional não está definida

Domínio de funções racionais

Exemplo: Encontrar o domínio de $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

Testa o teu conhecimento

Problemas desafio

Queres participar na conversa?

11.ºano

Assunto: 11.ºano > Tema 2

O que vais aprender nesta lição

O que é uma expressão racional?

Valores para os quais uma função racional não está definida

Domínio de funções racionais

Exemplo: Encontrar o domínio de f‍ tal que f(x)=x+1(x−3)(x+4)‍

Testa o teu conhecimento

Problemas desafio

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Exemplo: Encontrar o domínio de $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍