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Assunto: 11.ºano > Tema 2

Lição 6: Funções racionais

Introdução às expressões racionais

Aprende o que são as expressões racionais e os valores para os quais elas são indefinidas.

O que vais aprender nesta lição

Aqui, vamos introduzir as funções racionais. Vais aprender como determinar os valores para os quais uma função racional não está definida e como determinar o domínio destas funções.

O que é uma expressão racional?

Um polinómio é uma expressão que consiste na soma de constantes multiplicadas por potências de variáveis como

x

. A expressão

3 x^{2} - 6 x - 1

é um polinómio, por exemplo.

Uma expressão racional é simplesmente o quociente entre dois polinómios. Por outras palavras, é uma fração em que o denominador e o numerador são ambos polinómios.

Aqui estão alguns exemplos de expressões racionais:

$\frac{1}{x}$ ‍, $\frac{x + 5}{x^{2} - 4 x + 4}$ ‍, $\frac{x (x + 1) (2 x - 3)}{x - 6}$ ‍

Repara que não há restrições aos graus dos polinómios envolvidos. Por exemplo, o numerador pode ser uma constante.

Valores para os quais uma função racional não está definida

Considera a função racional

f

tal que

f (x) = \frac{2 x + 3}{x - 2}

Conseguimos determinar o valor desta função para alguns valores de

x

. Por exemplo, vamos avaliar a função para

x = 1

, ou seja, calcular

f (1)

$\begin{aligned} \frac{2 (1) + 3}{1 - 2} & = \frac{5}{- 1} \\ = - 5 \end{aligned}$ ‍

Portanto, para

x = 1

, o valor de

f

- 5

Agora, vamos tentar calcular

f (2)

$\begin{aligned} \frac{2 (2) + 3}{2 - 2} & = \frac{7}{0} \\ = indefinido! \end{aligned}$ ‍

O valor

2

faz com que o denominador da fração seja

0

. Como a divisão por

0

é indefinida, a função

f

está indefinida para

x = 2

Domínio de funções racionais

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores para os quais a sua expressão está definida.

As funções racionais estão definidas para todos os valores que não levem a que o denominador da expressão seja

0

Por outras palavras, o domínio de uma função racional consiste no conjunto de todos os números reais exceto os que façam com que o denominador seja nulo.

Exemplo: Encontrar o domínio de $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 1}{(x - 3) (x + 4)}$ ‍

Vamos começar por encontrar os zeros da expressão do denominador.

$\begin{aligned} (x - 3) (x + 4) = 0 \\ x - 3 = 0 ou x + 4 = 0 & Lei do anulamento do produto \\ x = 3 ou x = - 4 & Isolar x \end{aligned}$ ‍

Neste caso, o domínio é o conjunto de todos os números reais exceto $3$ ‍ e $-4$ ‍, ou seja, todos os reais tais que

x \neq 3, - 4

Testa o teu conhecimento

1) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 1}{x - 7}$ ‍?

O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

Vamos encontrar os zeros do denominador da expressão:

$\begin{aligned} x - 7 = 0 \\ x = 7 & Isolar x \end{aligned}$ ‍

O valor

7

torna o denominador igual a

0

, portanto não pertence ao domínio da função.

O domínio de

f

é o conjunto de todos os números reais exceto $7$ ‍, ou seja, o conjunto de todos os

x

tais que

x \neq 7

2) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{3 x - 7}{2 x + 1}$ ‍?

O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

Vamos encontrar os zeros do denominador da expressão:

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \\ 2 x & = - 1 & Subtrair 1 em ambos os membros \\ x & = - \frac{1}{2} & Dividir ambos os membros por 2 \end{aligned}$ ‍

O valor

- \frac{1}{2}

torna o denominador igual a

0

, portanto não pertence ao domínio da função.

O domínio de

f

é o conjunto de todos os números reais exceto $- \frac{1}{2}$ ‍, ou seja, o conjunto de todos os

x

tais que

x \neq - \frac{1}{2}

3) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{2 x - 3}{x (x + 1)}$ ‍?

O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

Vamos encontrar os zeros do denominador da expressão:

$\begin{aligned} x (x + 1) = 0 \\ x = 0 ou x + 1 = 0 & Lei do anulamento do produto \\ x = 0 ou x = - 1 & Isolar x \end{aligned}$ ‍

Como os zeros do denominador são

0

- 1

, o domínio da função não contém estes valores.

O domínio de

f

é o conjunto de todos os números reais exceto $0$ ‍ e $- 1$ ‍, ou seja, o conjunto de todos os

x

tais que

x \neq 0, - 1

Problemas desafio

4*) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x - 3}{x^{2} - 2 x - 8}$ ‍?

O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

Neste caso, não conseguimos determinar imediatamente os zeros do denominador. Portanto, temos de arranjar uma forma de simplificar o processo.

Repara que

x^{2} - 2 x - 8 = 0

pode ser facilmente fatorizado. Assim, temos:

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 8 = 0 \\ (x - 4) (x + 2) = 0 \\ x - 4 = 0 ou x + 2 = 0 & Lei do anulamento do produto \\ x = 4 ou x = - 2 & Isolar x \end{aligned}$ ‍

Como os zeros do denominador são

- 2

4

, o domínio da função não contém estes valores.

O domínio da função é o conjunto de todos os números reais exceto $- 2$ ‍ e $4$ ‍, ou seja, o conjunto de todos os

x

tais que

x \neq - 2, 4

5*) Qual é o domínio da função $f$ ‍ tal que $f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + 4}$ ‍?

O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

No entanto, o denominador desta função nunca pode ser igual a zero. De facto, temos

x^{2} + 4 > 0

para qualquer número real

x

Se tentarmos igualar a expressão do denominador a zero, obtemos o seguinte:

$\begin{aligned} x^{2} + 4 & = 0 \\ x^{2} & = - 4 & Impossível! Um número real ao quadrado nunca pode ser negativo. \end{aligned}$ ‍

A equação acima é impossível, pois um número real ao quadrado nunca pode ser negativo!

Como o denominador não pode ser

0

, não temos quaisquer restrições no domínio. Assim, o domínio da função é o conjunto de todos os números reais.

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Exemplo: Encontrar o domínio de f‍ tal que f(x)=x+1(x−3)(x+4)‍

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