Conteúdo principal

10.ºano

Assunto: 10.ºano > Tema 2

Lição 3: Operações com funções

Operações com funções: introdução

Familiarize-se com a ideia de que podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir duas funções para criar uma nova função.

Tal como podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir números, também podemos aplicar estas operações a funções.

Adição de duas funções

Parte 1: Criar uma nova função adicionando duas funções

Vamos adicionar

f (x) = x + 1

g (x) = 2 x

$\begin{aligned} f (x) + g (x) & = (x + 1) + (2 x) \\ = x + 1 + 2 x \\ = 3 x + 1 \end{aligned}$ ‍

Vamos chamar

h

a esta nova função. Portanto, temos:

$h (x) = f (x) + g (x) = 3 x + 1$ ‍

Parte 2: Calcular a imagem de um objeto pela função soma

Podemos também calcular a imagem pela função soma para um determinado objeto. Vamos calcular o valor da função

h

para

x = 2

. Vamos fazê-lo por dois métodos.

Método 1: Substituir

x = 2

diretamente na função

h

$\begin{aligned} h (x) & = 3 x + 1 \\ h (2) & = 3 \times 2 + 1 \\ = 7 \end{aligned}$ ‍

Método 2: Calcular

f (2)

g (2)

e adicionar as imagens obtidas.

Uma vez que

h (x) = f (x) + g (x)

, podemos também determinar

h (2)

calculando

f (2) + g (2)

Primeiro, vamos calcular

f (2)

$\begin{aligned} f (x) & = x + 1 \\ f (2) & = 2 + 1 \\ = 3 \end{aligned}$ ‍

Agora, vamos determinar

g (2)

$\begin{aligned} g (x) & = 2 x \\ g (2) & = 2 \times 2 \\ = 4 \end{aligned}$ ‍

Então

f (2) + g (2) = 3 + 4 = 7

Repara que calcular diretamente o valor de

h

para

x = 2

e calcular

f (2) + g (2)

deu-nos o mesmo resultado!

Vamos tentar resolver alguns exercícios.

Para os problemas 1 e 2, considera as funções

f

g

tais que

f (x) = 3 x + 2

g (x) = x - 3

Problema 1

Escreve uma expressão para $f (x) + g (x)$ ‍.

[Preciso de ajuda. Mostrem-me a solução.]

Problema 2

Calcula $f (- 1) + g (- 1)$ ‍.

[Preciso de ajuda. Mostrem-me a solução.]

Interpretação gráfica

A adição de funções também pode ser compreendida graficamente.

A seguir apresentamos os gráficos das funções

m (x)

n (x)

. Repara que, no primeiro gráfico,

m (4) = 2

e no segundo

n (4) = 5

Seja a função

p

dada por

p (x) = m (x) + n (x)

, cuja representação gráfica encontras de seguida. Repara que

p (4) = 2 + 5 = 7

Testa para outros valores de

x

que

p (x) = m (x) + n (x)

analisando os gráficos das três funções.

Vamos praticar.

Problema 3

A seguir apresentamos os gráficos das funções

f (x)

g (x)

Qual é o valor de $f (3) + g (3)$ ‍?

[Preciso de ajuda. Mostrem-me a solução.]

Outras formas de operar com funções

Nos exemplos que analisámos até agora obtivemos uma nova função adicionando duas, mas também podemos, por exemplo, subtrair, multiplicar ou dividir funções!

Por exemplo, sendo

f

g

dadas por

f (x) = x + 3

g (x) = x - 2

, podemos não só determinar a função soma, mas também...

... a função diferença.

\begin{aligned} f (x) - g (x) & = (x + 3) - (x - 2) Usar as expressões das funções. \\ = x + 3 - x + 2 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração. \\ = 5 Simplificar a expressão. \end{aligned}

... a função produto.

\begin{aligned} f (x) \times g (x) & = (x + 3) (x - 2) Usar as expressões das funções. \\ = x^{2} - 2 x + 3 x - 6 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. \\ = x^{2} + x - 6 Simplificar a expressão. \end{aligned}

... a função quociente.

\begin{aligned} f (x) \div g (x) & = \frac{f (x)}{g (x)} \\ = \frac{(x + 3)}{(x - 2)} Usar as expressões das funções. \end{aligned}

Desta forma, obtivemos três novas funções!

Desafio

p (t) = t + 2

q (t) = t - 1

r (t) = t

Calcula $p (3) \times q (3) \times r (3) - p (3)$ ‍.

[Preciso de ajuda. Mostrem-me a solução.]

Queres participar na conversa?

Iniciar sessão

Ordenar por:

Ainda não há comentários.

Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.