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Assunto: Geometria (todo o conteúdo) > Tema 10

Lição 3: Rotações

Rotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°

Aprender a desenhar a imagem de uma forma dada com uma rotação dada sobre a origem por qualquer múltiplo de 90°.

Introdução

Neste artigo vamos praticar a arte da rotação de figuras. Matematicamente falando, vamos aprender a desenhar uma imagem com uma certa forma após lhe ser aplicada uma certa rotação.

Este artigo foca-se nas rotações por múltiplos de

90^{\circ}

, tanto no sentido direto (contrário ao dos ponteiros do relógio) como indireto (dos ponteiros do relógio).

Parte 1: Rotação de pontos por $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍, e $- 90^{\circ}$ ‍

Vamos estudar um problema exemplo

Queremos encontrar a imagem

A^{'}

do ponto

A (3, 4)

pela rotação de

90^{\circ}

em torno da origem.

Comecemos por visualizar o problema. Rotações no sentido direto possuem o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Assim, a nossa rotação será algo como isto:

Boa, conseguimos estimar

A^{'}

graficamente. Mas agora precisamos de encontrar as coordenadas exatas. Há duas maneiras de conseguir isto.

Método 1: Abordagem visual

Podemos imaginar um retângulo que tem um vértice na origem com o vértice oposto em

A

Uma rotação de

90^{\circ}

é como colocar o retângulo de lado:

Podemos ver que a imagem de $A (3, 4)$ ‍ pela rotação é $A^{'} (- 4, 3)$ ‍.

Repara que é mais fácil rodar os pontos que estão em cima dos eixos, e estes pontos ajudam-nos a encontrar a imagem de

A

Ponto	$(3, 0)$ ‍	$(0, 4)$ ‍	$(3, 4)$ ‍
Imagem	$(0, 3)$ ‍	$(- 4, 0)$ ‍	$(- 4, 3)$ ‍

Método 2: abordagem algébrica

Vejamos os pontos

A

A^{'}

Ponto	$x$ ‍	$y$ ‍
$A$ ‍	$3$ ‍	$4$ ‍
$A^{'}$ ‍	$- 4$ ‍	$3$ ‍

Repara que a abcissa de

A^{'}

é o simétrico da ordenada de

A

e a ordenada de

A^{'}

é a abcissa de

A

Podemos representar isto matematicamente da seguinte forma:

$R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)$ ‍

É possível demonstrar que isto é verdade para qualquer ponto e não apenas para o nosso ponto

A

. Mais alguns exemplos:

É possível demonstrar que as rotações de

180^{\circ}

- 90^{\circ}

se comportam de maneira semelhante:

$R_{(0, 0), 180^{\circ}} (x, y) = (- x, - y)$ ‍

$R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)$ ‍

Podemos aplicar estas rotações a qualquer ponto simplesmente substituindo as variáveis da equação pelas suas coordenadas.

Agora é a tua vez!

Exercício 1

Desenha a imagem de $B (- 7, - 3)$ ‍ pela rotação $R_{(0, 0), - 90^{\circ}}$ ‍.

Exercício 2

Desenha a imagem de $C (5, - 6)$ ‍ pela rotação $R_{(0, 0), 180^{\circ}}$ ‍.

Método gráfico vs. método algébrico

Em geral, qualquer um pode escolher entre os dois métodos. É uma questão de preferência!

O método algébrico é mais rápido e menos trabalhoso, mas precisas de te lembrar das fórmulas. No método gráfico não há fórmulas a reter, mas podes demorar mais tempo a resolver o problema.

Parte 2: Generalização para qualquer múltiplo de $90^{\circ}$ ‍

Vamos estudar um problema exemplo

Queremos encontrar a imagem

D^{'}

do ponto

D (- 5, 4)

pela rotação de

270^{\circ}

em torno da origem.

Solução

Uma vez que rodar por

270^{\circ}

é o mesmo que rodar por

90^{\circ}

três vezes, podemos resolver graficamente ao aplicar três rotações de

90^{\circ}

consecutivamente:

Mas espera! Poderíamos rodar por

- 90^{\circ}

em vez de

270^{\circ}

. Estas rotações são equivalentes. Repara:

Pela mesma razão, podemos usar a fórmula

R_{(0, 0), - 90^{\circ}} (x, y) = (y, - x)

$R_{(0, 0), 270^{\circ}} (- 5, 4) = (4, 5)$ ‍

Vamos estudar outro problema-exemplo

Queremos encontrar a imagem de

(- 9, - 7)

pela rotação de

810^{\circ}

em torno da origem.

Solução

Uma rotação de

810^{\circ}

é igual a duas rotações de

360^{\circ}

seguidas de uma rotação de

90^{\circ}

(visto que

810 = 2 \cdot 360 + 90

Uma rotação de

360^{\circ}

transforma qualquer ponto nele próprio. Ou seja, não causa qualquer alteração.

Assim, uma rotação de

810^{\circ}

é igual a uma rotação de

90^{\circ}

. Logo, podemos simplesmente usar a fórmula

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

$R_{(0, 0), 810^{\circ}} (- 9, - 7) = (7, - 9)$ ‍

Agora é a tua vez!

Exercício 1

Desenha a imagem de $E (8, 6)$ ‍ pela rotação $R_{(0, 0), - 270^{\circ}}$ ‍.

Exercício 2

Que rotação é equivalente à rotação $R_{(0, 0), - 990^{\circ}}$ ‍?

Part 3: Rotações em polígonos

Vamos estudar um problema exemplo

Considera o quadrilátero

[D E F G]

da figura abaixo. Vamos desenhar a sua imagem,

[D^{'} E^{'} F^{'} G^{'}]

, pela rotação

R_{(0, 0), 270^{\circ}}

Solução

Tal como acontece com translações, para aplicar uma rotação a um polígono basta transformar todos os seus vértices, e depois conectar os vértices para chegar à imagem do polígono.

Agora é a tua vez!

Constrói a imagem do triângulo $[H I J]$ ‍ pela rotação $R_{(0, 0), 90^{\circ}}$ ‍.

Vamos encontrar as imagens de todos os vértices.

Neste problema, vamos usar a fórmula algébrica

R_{(0, 0), 90^{\circ}} (x, y) = (- y, x)

Vértice $(x, y)$ ‍	Imagem $(- y, x)$ ‍
$H (- 3, 4)$ ‍	$(- 4, - 3)$ ‍
$I (7, - 2)$ ‍	$(2, 7)$ ‍
$J (- 6, - 5)$ ‍	$(5, - 6)$ ‍

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Rotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°

Introdução

Parte 1: Rotação de pontos por $90^{\circ}$ ‍, $180^{\circ}$ ‍, e $- 90^{\circ}$ ‍

Vamos estudar um problema exemplo

Método 1: Abordagem visual

Método 2: abordagem algébrica

Agora é a tua vez!

Exercício 1

Solução gráfica

Solução algébrica

Exercício 2

Solução gráfica

Solução algébrica

Método gráfico vs. método algébrico

Parte 2: Generalização para qualquer múltiplo de $90^{\circ}$ ‍

Vamos estudar um problema exemplo

Solução

Vamos estudar outro problema-exemplo

Solução

Agora é a tua vez!

Exercício 1

Exercício 2

Part 3: Rotações em polígonos

Vamos estudar um problema exemplo

Solução

Agora é a tua vez!

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Introdução

Parte 1: Rotação de pontos por 90∘‍ , 180∘‍ , e −90∘‍

Vamos estudar um problema exemplo

Método 1: Abordagem visual

Método 2: abordagem algébrica

Agora é a tua vez!

Exercício 1

Exercício 2

Método gráfico vs. método algébrico

Parte 2: Generalização para qualquer múltiplo de 90∘‍

Vamos estudar um problema exemplo

Solução

Vamos estudar outro problema-exemplo

Solução

Agora é a tua vez!

Exercício 1

Exercício 2

Part 3: Rotações em polígonos

Vamos estudar um problema exemplo

Solução

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Parte 2: Generalização para qualquer múltiplo de $90^{\circ}$ ‍