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Assunto: Fundamentos de Álgebra > Tema 5

Lição 2: Método de eliminação para sistemas de equações

Revisão do método de eliminação (sistemas de equações lineares)

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Este artigo revê a técnica com exemplos e dá-te a oportunidade de experimentar o método por ti mesmo.

O que é o método de eliminação?

O método de eliminação é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares. Vamos analisar alguns exemplos.

Exemplo 1

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 5 y - 7 x & = 12 \end{aligned}

Repara que a primeira equação tem um termo de

7 x

e a segunda equação tem um termo de

- 7 x

. Estes termos vão anular-se se somarmos as equações juntas — ou seja, vamos eliminar os termos com

x

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ + 5 y - 7 x & = 12 \\ 7 y + 0 & = 7 \end{aligned}

Resolvendo em ordem a

y

, temos:

\begin{aligned} 7 y + 0 & = 7 \\ 7 y & = 7 \\ y & = 1 \end{aligned}

Ao substituirmos este valor na primeira equação, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:

\begin{aligned} 2 y + 7 x & = - 5 \\ 2 \cdot 1 + 7 x & = - 5 \\ 2 + 7 x & = - 5 \\ 7 x & = - 7 \\ x & = - 1 \end{aligned}

A solução deste sistema é

(- 1

1)

Podemos verificar a nossa solução colocando estes valores nas equações originais. Vamos tentar a segunda equação:

\begin{aligned} 5 y - 7 x & = 12 \\ 5 \cdot 1 - 7 (- 1) & \overset{?}{=} 12 \\ 5 + 7 & = 12 \end{aligned}

Sim, verifica-se que a solução está correta.

Se tens dúvidas acerca deste processo funcionar, vê este vídeo introdutório para uma explicação passo a passo mais profundida.

Exemplo 2

Pedem-nos para resolver este sistema de equações:

\begin{aligned} - 9 y + 4 x - 20 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Podemos multiplicar a primeira equação por

- 4

para obter uma equação equivalente que tem um termo

- 16 x

. O nosso novo (mas equivalente!) sistema de equações tem este aspecto:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \end{aligned}

Ao adicionar as equações para eliminar os termos em

x

, obtemos:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ + - 7 y + 16 x - 80 & = 0 \\ 29 y + 0 - 0 & = 0 \end{aligned}

Resolvendo em ordem a

y

, temos:

\begin{aligned} 29 y + 0 - 0 & = 0 \\ 29 y & = 0 \\ y & = 0 \end{aligned}

Ao substituirmos este valor na primeira equação, resolvemos agora a equação em ordem à outra variável:

\begin{aligned} 36 y - 16 x + 80 & = 0 \\ 36 \cdot 0 - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x + 80 & = 0 \\ - 16 x & = - 80 \\ x & = 5 \end{aligned}

A solução para o sistema é

x = 5

y = 0

Queres ver outro exemplo de resolver um problema complicado com o método de eliminação? Vê este video.

Pratica

Problema 1

Resolve o seguinte sistema de equações.

\begin{aligned} 3 x + 8 y & = 15 \\ 2 x - 8 y & = 10 \end{aligned}

x =

y =

Queres praticar mais? Vê estes exercícios:

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