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Assunto: Álgebra 2 > Tema 8

Lição 4: Mudança de base de um logaritmo

Introdução à regra da mudança de base do logaritmo

Aprende a reescrever qualquer logaritmo usando logaritmos com uma base diferente. Isto é útil para determinar logaritmos na calculadora!

Supõe que queríamos calcular o valor da expressão

\log_{2} (50)

. Uma vez que

50

não é uma potência de

2

, é difícil conhecer o valor sem uma calculadora.

No entanto, a maior parte das calculadoras calculam logaritmos na base

10

e na base

e

. Por isso, de forma a encontrar o valor de

\log_{2} (50)

, primeiro temos de mudar a base do logaritmo.

Regra da mudança de base

Podemos mudar a base de qualquer logaritmo usando a seguinte regra:

Notas:

Ao usares esta propriedade, podes escolher mudar o logaritmo para qualquer base $x$ ‍.
Como sempre, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos e as bases devem ser positivas e diferentes de $1$ ‍ para que esta propriedade se verifique!

Exemplo: Calcular $\log_{2} (50)$ ‍

Se o teu objetivo é encontrar o valor de um logaritmo, muda a base para

10

e

, dado que estes logaritmos podem ser calculados na maioria das calculadoras.

Por isso, vamos mudar a base de

\log_{2} (50)

para

10

Para fazer isto, aplicamos a regra da mudança de base com

b = 2

a = 50

, e

x = 10

$\begin{aligned} \log_{2} (50) & = \frac{\log_{10} (50)}{\log_{10} (2)} & Regra da mudança de base \\ = \frac{\log (50)}{\log (2)} & Pois \log_{10} (x) = \log (x) \end{aligned}$ ‍

Agora podemos encontrar o valor usando a calculadora.

$\begin{array}{r} \approx 5,644 \end{array}$ ‍

Testa o teu conhecimento

1) Calcula $\log_{3} (20)$ ‍.
Dá a resposta arredondada à centésima mais próxima.

2) Calcula $\log_{7} (400)$ ‍.
Dá a resposta arredondada à centésima mais próxima.

3) Calcula $\log_{4} (0, 3)$ ‍.
Dá a resposta arredondada à centésima mais próxima.

Justificar a regra de mudança de base

Neste ponto, deves estar a pensar: "Boa, mas porque é que esta regra funciona?"

$\log_{b} (a) = \frac{\log_{x} (a)}{\log_{x} (b)} \leftarrow Regra de mudança de base$ ‍

Para calcular isto, vamos voltar à expressão original

\log_{2} (50)

. Se tomarmos

\log_{2} (50) = n

, então segue que

2^{n} = 50

Como os dois valores são iguais, podemos tomar o logaritmo em qualquer base para ambos os membros da equação criada. Temos agora que:

$\begin{aligned} 2^{n} & = 50 \\ \log_{x} (2^{n}) & = \log_{x} (50) & Se Y = Z, então \log_{x} (Y) = \log_{x} (Z) \\ n \log_{x} (2) & = \log_{x} (50) & Regra da potência \\ n & = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)} & Dividir ambos os membros por \log_{x} (2) \end{aligned}$ ‍

Como

n = \log_{2} (50)

, temos que

\log_{2} (50) = \frac{\log_{x} (50)}{\log_{x} (2)}

tal como desejado!

Pela mesma lógica, podemos provar a regra da mudança de base. Basta mudares

2

para

b

50

para

a

e tens a demonstração!

Problemas desafio

1) Calcula $\frac{\log (81)}{\log (3)}$ ‍ sem usar calculadora.

2) Qual é a expressão equivalente a $\log (6) \times \log_{6} (a)$ ‍?

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Álgebra 2

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