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Assunto: Álgebra 2 > Tema 13

Lição 1: Simplificação

Simplificação de expressões racionais (avançado)

Já sabes as bases da simplificação da expressão racional? Ótimo! Agora ganha mais experiência com alguns exemplos mais complicados.

Conceitos com que deves estar familiarizado para esta lição

Uma expressão racional é um quociente entre dois polinómios. Uma expressão racional é irredutível se estiver simplificada ao ponto de não haver fatores comuns entre o denominador e o numerador.

Se não estás familiarizado com isto, recomendamos que vejas a introdução à simplificação de expressões racionais.

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, irás praticar a simplificação de expressões racionais um pouco mais complicadas. Vamos analisar dois exemplos, e depois poderás resolver alguns problemas!

Exemplo 1: Simplificar $\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x}$ ‍

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

Apesar de o numerador ser um monómio, ele também pode ser fatorizado.

$\frac{10 x^{3}}{2 x^{2} - 18 x} = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições $x \neq 0$ ‍ e $x \neq 9$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores comuns

$\begin{aligned} \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} & = \frac{2 \cdot 5 \cdot x \cdot x^{2}}{2 \cdot x \cdot (x - 9)} \\ = \frac{5 x^{2}}{x - 9} \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$\frac{5 x^{2}}{x - 9}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

A reter

Neste exemplo, vamos ver que por vezes temos de fatorizar monómios para chegar a uma expressão irredutível.

Testa o teu conhecimento

1) Simplifica $\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}}$ ‍.

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

$\frac{6 x^{2}}{12 x^{4} - 9 x^{3}} = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições $x \neq 0$ ‍ e $x \neq \frac{3}{4}$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores comuns

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 x^{3} (4 x - 3)} & = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{3 \cdot 2 \cdot x^{2}}{3 \cdot x \cdot x^{2} (4 x - 3)} \\ = \frac{2}{x (4 x - 3)} \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

$\frac{2}{x (4 x - 3)}$ ‍

A expressão original estava definida para $x$ ‍ tal que $x \neq 0, \frac{3}{4}$ ‍. Estas restrições mantêm-se implícitas no denominador da nova expressão, pelo que não precisamos de especificar quaisquer restrições.

Exemplo 2: Simplificar $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

Aqui, reparamos que o fator

3 - x

pode ser escrito como o produto de

- 1

por

x - 3

. Assim, conseguimos encontrar um fator comum de

x - 3

\begin{aligned} \frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (- 3 + x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} Comutatividade \end{aligned}

Passo 2: Registar as condições da expressão

Com o denominador fatorizado, encontramos as restrições

x \neq 3

x \neq - 1

Passo 3: Eliminar fatores comuns

\begin{aligned} \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 3) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)} \\ = \frac{- 1 (x - 1)}{x + 1} \\ = \frac{1 - x}{x + 1} \end{aligned}

O último passo, em que efetuamos o produto de

- 1

com o outro monómio do numerador, não era necessário, mas é comum fazer-se.

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

\frac{1 - x}{x + 1}

para

x \neq 3

A reter

Os fatores

x - 3

3 - x

são simétricos, uma vez que

- 1 \cdot (x - 3) = 3 - x

Neste caso, os dois fatores foram eliminados mas apareceu um

- 1

. Por outras palavras, o quociente entre

x - 3

3 - x

foi substituído por

-1

O quociente entre expressões simétricas da forma

a - b

b - a

dá

- 1

no caso em que

a \neq b

Testa o teu conhecimento

2) Simplifica $\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍.

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

O numerador e o denominador já se encontram fatorizados.

$\frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições $x \neq 2$ ‍ e $x \neq - 5$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores simétricos

Podemos substituir

(x - 2)

(2 - x)

por

- 1

$\begin{aligned} \frac{(x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} & = \frac{- 1 (x - 2) (x - 5)}{(2 - x) (x + 5)} \\ = \frac{- 1 (x - 5)}{x + 5} \\ = \frac{5 - x}{x + 5} \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$\frac{5 - x}{x + 5}$ ‍ para $x \neq 2$ ‍

3) Simplifica $\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}}$ ‍.

para

x \neq

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

$\frac{15 - 10 x}{8 x^{3} - 12 x^{2}} = \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições $x \neq 0$ ‍ e $x \neq \frac{3}{2}$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores simétricos

Podemos substituir

(3 - 2 x)

(2 x - 3)

por

- 1

$\begin{aligned} \frac{5 (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} & = \frac{5 \cdot (- 1) (3 - 2 x)}{4 x^{2} (2 x - 3)} \\ = \frac{- 5}{4 x^{2}} \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$\frac{- 5}{4 x^{2}}$ ‍ para $x \neq \frac{3}{2}$ ‍

Vamos resolver mais problemas

4) Simplifica $\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x}$ ‍.

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

$\frac{3 x}{15 x^{2} - 6 x} = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições $x \neq 0$ ‍ e $x \neq \frac{2}{5}$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores comuns

$\begin{aligned} \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} & = \frac{3 x}{3 x (5 x - 2)} \\ = \frac{1}{5 x - 2} \end{aligned}$ ‍

Repara que, quando todos os fatores do numerador são cancelados, resta apenas

1

, o elemento neutro da multiplicação.

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$\frac{1}{5 x - 2}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

5) Simplifica $\frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3}$ ‍.

para

x \neq

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

Repara que todas as parcelas do polinómio do numerador possuem o fator

3 x

em comum. Vamos pô-lo em evidência, e depois fatorizar o polinómio resultante. No denominador, podemos colocar

3

em evidência.

$\begin{aligned} \frac{3 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x}{3 x - 3} & = \frac{3 x (x^{2} - 5 x + 4)}{3 (x - 1)} \\ = \frac{3 x (x - 4) (x - 1)}{3 (x - 1)} \end{aligned}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, encontramos a restrição $x \neq 1$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores comuns

$\begin{aligned} \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} & = \frac{3 \cdot x (x - 4) (x - 1)}{3 \cdot (x - 1)} \\ = x (x - 4) \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$x (x - 4)$ ‍ para $x \neq 1$ ‍

6) Simplifica $\frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}}$ ‍.

Passo 1: Fatorizar o numerador e o denominador

Repara que existe um fator comum de

6 x

no numerador e de

3 x

no denominador.

$\begin{aligned} \frac{6 x^{2} - 12 x}{6 x - 3 x^{2}} & = \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Passo 2: Registar as condições da expressão

Ao fatorizar o denominador, concluímos que a expressão tem as restrições $x \neq 0$ ‍ e $x \neq 2$ ‍.

Passo 3: Eliminar fatores comuns e fatores simétricos

Podemos escrever

6 x

como

2 \cdot 3 x

. Assim, concluímos que podemos eliminar

3 x

no denominador e no numerador.

$\begin{aligned} \frac{6 x (x - 2)}{3 x (2 - x)} & = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot 3 x \cdot (x - 2)}{3 x \cdot (2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \end{aligned}$ ‍

Agora, podemos cancelar os fatores simétricos

(x - 2)

(2 - x)

e acrescentar

- 1

como fator.

$\begin{aligned} = \frac{2 \cdot (x - 2)}{(2 - x)} \\ = \frac{2 \cdot (- 1) (x - 2)}{(2 - x)} \\ = - 2 \end{aligned}$ ‍

Passo 4: Resposta

A expressão simplificada é:

$- 2$ ‍ para $x \neq 0, 2$ ‍

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Álgebra 2

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Exemplo 2: Simplificar $\frac{(3 - x) (x - 1)}{(x - 3) (x + 1)}$ ‍