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Assunto: Álgebra 2 > Tema 13

Lição 6: Multiplicação e divisão de expressões racionais

Divisão de expressões racionais

Aprende a calcular o quociente de duas expressões racionais.

Conceitos com que deves estar familiarizado antes de iniciares esta lição

Uma expressão racional é uma fração composta por dois polinómios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais exceto os que tornam o denominador igual a zero.

Podemos multiplicar expressões racionais como o fazemos para frações numéricas — fatorizando o numerador e o denominador, cancelando os fatores comuns a ambos e efetuar as multiplicações restantes no numerador e no denominador.

Se não estás familiarizado com isto, recomendamos os seguintes artigos:

O que vais aprender nesta lição

Nesta lição, vais aprender a dividir expressões racionais.

Dividir frações

Para efetuar o quociente entre duas frações numéricas, podemos multiplicar o dividendo (a primeira fração) pelo inverso do divisor (a segunda fração). Por exemplo:

\begin{aligned} \frac{2}{9} \div \frac{8}{3} \\ = \frac{2}{9} \cdot \frac{3}{8} & Multiplicar pelo inverso \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Fatorizar os numeradores e os denominadores \\ = \frac{2}{3 \cdot 3} \cdot \frac{3}{2 \cdot 4} & Eliminar fatores comuns \\ = \frac{1}{12} & Multiplicar \end{aligned}

Este método pode também ser aplicado à divisão de expressões racionais.

Exemplo 1: $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

\begin{aligned} \frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10} \\ = \frac{3 x^{4}}{4} \cdot \frac{10}{9 x} & Multiplicar pelo inverso \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Fatorizar os numeradores e os denominadores \\ = \frac{3 \cdot x \cdot x^{3}}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot x} & Eliminar fatores comuns \\ = \frac{5 x^{3}}{6} & Multiplicar \end{aligned}

Não nos podemos esquecer de considerar possíveis restrições à variável

x

que possam aparecer. O quociente entre duas expressões racionais não está definido...

para qualquer valor para o qual alguma das expressões originais seja indefinida;
para qualquer valor que torne a expressão do divisor igual a zero.

Matematicamente falando, uma expressão da forma

\frac{A}{B} \div \frac{C}{D}

é indefinida quando

B = 0

C = 0

D = 0

Vamos analisar as duas expressões da divisão para determinar as restrições à variável

x

O dividendo, $\frac{3 x^{4}}{4}$ ‍, está definido para qualquer valor de $x$ ‍.
O divisor, $\frac{9 x}{10}$ ‍, está definido para qualquer valor de $x$ ‍ e é $0$ ‍ quando $x = 0$ ‍.

Assim, podemos concluir que o quociente está definido para qualquer valor de

x

tal que

x \neq 0

. A resposta final é:

$\frac{5 x^{3}}{6}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Testa o teu conhecimento

1) Calcula e simplifica.

\frac{3}{10 x^{2}} \div \frac{6}{15 x^{5}} =

para

x \neq

\begin{aligned} \frac{3}{10 x^{2}} \div \frac{6}{15 x^{5}} \\ = \frac{3}{10 x^{2}} \cdot \frac{15 x^{5}}{6} & Multiplicar pelo inverso \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Fatorizar \\ = \frac{3}{2 \cdot 5 \cdot x^{2}} \cdot \frac{3 \cdot 5 \cdot x^{2} \cdot x^{3}}{2 \cdot 3} & Eliminar fatores comuns \\ = \frac{3 x^{3}}{4} & Multiplicar \end{aligned}

Vamos analisar as duas expressões da divisão para determinar as restrições à variável

x

O dividendo, $\frac{3}{10 x^{2}}$ ‍, não está definido para $x = 0$ ‍.
O divisor, $\frac{6}{15 x^{5}}$ ‍, não está definido para $x = 0$ ‍.

Assim, podemos concluir que o quociente está definido para qualquer valor de

x

tal que

x \neq 0

. A resposta final é:

$\frac{3 x^{3}}{4}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

Exemplo 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍

Vamos multiplicar a primeira expressão pelo inverso da segunda. Depois fatorizamos os denominadores e os numeradores, eliminamos os fatores comuns e multiplicamos o que restar. Por fim, teremos de considerar as restrições existentes.

\begin{aligned} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5} \\ = \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Multiplicar pelo inverso \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x + 3} & Fatorizar \\ = \frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)} \cdot \frac{(x - 5)}{x + 3} & Eliminar fatores comuns \\ = \frac{x - 5}{x + 5} & Multiplicar \end{aligned}

Vamos analisar as duas expressões desta divisão para determinar as restrições à variável

x

. Neste caso, é mais fácil encontrar as restrições fatorizando os numeradores e os denominadores.

O dividendo, $\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 5) (x - 2)}$ ‍, está definido para $x$ ‍ tal que $x \neq - 5$ ‍ e $x \neq 2$ ‍.
O divisor, $\frac{x + 3}{x - 5}$ ‍, está definido para $x$ ‍ tal que $x \neq 5$ ‍ e tem valor $0$ ‍ para $x = - 3$ ‍.

Assim, podemos concluir que a expressão do quociente deve estar definida para

x

tal que

x \neq - 5

x \neq - 3

x \neq 2

x \neq 5

No entanto, basta escrevermos

x \neq 5

x \neq 2

x \neq - 3

como restrições. A restrição

x \neq - 5

, continua implícita no denominador da expressão simplificada. A resposta final é:

$\frac{x - 5}{x + 5}$ ‍ para $x \neq 5$ ‍ $x \neq 2$ ‍ e $x \neq - 3$ ‍

Testa o teu conhecimento

2) Calcula e simplifica.

\frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} =

Quais são as restrições à variável $x$ ‍ na expressão resultante?

\begin{aligned} \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \div \frac{x^{2} - 6 x - 7}{2 x + 4} \\ = \frac{x - 7}{x^{2} - 4} \cdot \frac{2 x + 4}{x^{2} - 6 x - 7} & Multiplicar pelo inverso \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Fatorizar \\ = \frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \frac{2 (x + 2)}{(x - 7) (x + 1)} & Eliminar fatores comuns \\ = \frac{2}{(x - 2) (x + 1)} & Multiplicar \end{aligned}

Vamos analisar as duas expressões desta divisão para determinar as restrições à variável

x

O dividendo, $\frac{x - 7}{(x - 2) (x + 2)}$ ‍, está definido para $x$ ‍ tal que $x \neq 2$ ‍ e $x \neq - 2$ ‍.
O divisor, $\frac{(x - 7) (x + 1)}{2 (x + 2)}$ ‍, está definido para $x$ ‍ tal que $x \neq - 2$ ‍, e tem valor $0$ ‍ quando $x = 7$ ‍ ou $x = - 1$ ‍.

Assim, podemos concluir que o quociente está definido para

x \neq - 2

x \neq - 1

x \neq 2

x \neq 7

3) Calcula e simplifica.

\frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} =

Quais são as restrições à variável $x$ ‍ na expressão resultante?

\begin{aligned} \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \div \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 3} \\ = \frac{x + 4}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x^{2} - 4 x + 3}{x - 1} & Multiplicar pelo inverso \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Fatorizar \\ = \frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)} \cdot \frac{(x - 1) (x - 3)}{(x - 1)} & Eliminar fatores comuns \\ = \frac{x + 4}{x + 3} & Multiplicar \end{aligned}

Vamos analisar as duas expressões desta divisão para determinar as restrições à variável

x

O dividendo, $\frac{x + 4}{(x + 3) (x - 3)}$ ‍, está definido para $x$ ‍ tal que $x \neq - 3$ ‍ e $x \neq 3$ ‍.
O divisor, $\frac{x - 1}{(x - 3) (x - 1)}$ ‍, está definido para $x$ ‍ tal que $x \neq 3$ ‍ e $x \neq 1$ ‍.

Assim, podemos concluir que o quociente está definido para

x

tal que

x \neq - 3

x \neq 1

x \neq 3

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Álgebra 2

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Exemplo 1: 3x44÷9x10‍

Testa o teu conhecimento

Exemplo 2: x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5‍

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Exemplo 1: $\frac{3 x^{4}}{4} \div \frac{9 x}{10}$ ‍

Exemplo 2: $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 3 x - 10} \div \frac{x + 3}{x - 5}$ ‍