Conteúdo principal

Assunto: Álgebra 2 > Tema 10

Lição 2: Equações com raiz quadrada

Como resolver equações com raízes quadradas

Pratica alguns problemas antes de entrar no exercício.

Introdução

Neste artigo, vamos resolver mais equações com raízes quadradas. Estas equações são um bocado diferentes das que estudaste até agora, porque o método utilizado pode levar a soluções que não são válidas.

Exercício 1: Isolar o termo com raiz

Resolve a seguinte equação em ordem a $x$ ‍.

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

x =

Passo 1: Isolar o termo com raiz

Antes de elevarmos ambos os membros ao quadrado, precisamos de isolar o termo com a raiz.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \Leftrightarrow \sqrt{2 x - 7} & = 7 \end{aligned}$ ‍

Passo 2: Elevar ambos os membros ao quadrado

Agora que isolámos o termo com a raiz, podemos elevar ambos os membros ao quadrado para a eliminar. Este passo pode introduzir soluções que não são válidas na equação original, portanto devemos usar o sinal de implicação ao invés do de equivalência neste passo.

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} & = 7 \\ \Rightarrow {(\sqrt{2 x - 7})}^{2} & = (7)^{2} \\ \Leftrightarrow 2 x - 7 & = 49 \\ \Leftrightarrow 2 x & = 56 \\ \Leftrightarrow x & = 28 \end{aligned}$ ‍

Passo 3: Testar soluções obtidas

A equação original é

\sqrt{2 x - 7} - 3 = 4

Quando

x = 28

, obtemos:

$\begin{aligned} \sqrt{2 x - 7} - 3 & = 4 \\ \sqrt{2 (28) - 7} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ \sqrt{49} - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 7 - 3 & \overset{?}{=} 4 \\ 4 & = 4 \end{aligned}$ ‍

Assim,

x = 28

é de facto uma solução.

Questão 2: duas soluções possíveis

Quais são as soluções para a equação seguinte?

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

Passo 1: Isolar o termo com raiz

Antes de elevarmos ambos os membros ao quadrado, precisamos de isolar o termo com a raiz.

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ \Leftrightarrow 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \end{aligned}$ ‍

Passo 2: Elevar ambos os membros ao quadrado

$\begin{aligned} 6 + x & = \sqrt{2 x + 12} \\ \Rightarrow {(6 + x)}^{2} & = {(\sqrt{2 x + 12})}^{2} \\ \Leftrightarrow 36 + 12 x + x^{2} & = 2 x + 12 \\ \Leftrightarrow x^{2} + 10 x + 24 & = 0 \\ \Leftrightarrow (x + 6) (x + 4) & = 0 \end{aligned}$ ‍

Encontrámos dois candidatos a solução:

x = - 6

x = - 4

Passo 3: Testar soluções obtidas

A equação original é

6 + 3 x = \sqrt{2 x + 12} + 2 x

Quando

x = - 6

, obtemos:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 6) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 6) + 12} + 2 (- 6) \\ - 12 & \overset{?}{=} \sqrt{0} - 12 \\ - 12 & \overset{?}{=} 0 - 12 \\ - 12 & = - 12 \end{aligned}$ ‍

Assim,

x = - 6

é de facto uma solução.

Quando

x = - 4

, obtemos:

$\begin{aligned} 6 + 3 x & = \sqrt{2 x + 12} + 2 x \\ 6 + 3 (- 4) & \overset{?}{=} \sqrt{2 (- 4) + 12} + 2 (- 4) \\ - 6 & \overset{?}{=} \sqrt{4} - 8 \\ - 6 & \overset{?}{=} 2 - 8 \\ - 6 & = - 6 \end{aligned}$ ‍

Portanto,

x = - 4

também é uma solução!

Conclusão

Concluímos que esta equação tem duas soluções! Tanto

x = - 6

como

x = - 4

são soluções da equação.

Questão 3

Quais são as soluções para a equação seguinte?

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

Passo 1: Isolar o termo com raiz

Antes de elevarmos ambos os membros ao quadrado, precisamos de isolar o termo com a raiz.

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \Leftrightarrow \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Passo 2: Elevar ambos os membros ao quadrado

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} & = 5 + 3 x \\ \Rightarrow {(\sqrt{7 x^{2} + 15 x})}^{2} & = {(5 + 3 x)}^{2} \\ \Leftrightarrow 7 x^{2} + 15 x & = 25 + 30 x + 9 x^{2} \\ \Leftrightarrow 0 & = 2 x^{2} + 15 x + 25 \\ \Leftrightarrow 0 & = (2 x + 5) (x + 5) \end{aligned}$ ‍

Encontrámos dois candidatos a solução:

x = - 5

x = - \frac{5}{2}

Passo 3: Testar soluções obtidas

A equação original é

\sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x = 5 + x

Quando

x = - 5

, obtemos:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- 5)}^{2} + 15 (- 5)} - 2 (- 5) & \overset{?}{=} 5 + (- 5) \\ \sqrt{100} + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 10 + 10 & \overset{?}{=} 0 \\ 20 & \neq 0 \end{aligned}$ ‍

Portanto,

x = - 5

não é uma solução.

Quando

x = - \frac{5}{2}

, obtemos:

$\begin{aligned} \sqrt{7 x^{2} + 15 x} - 2 x & = 5 + x \\ \sqrt{7 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 15 (- \frac{5}{2})} - 2 (- \frac{5}{2}) & \overset{?}{=} 5 + (- \frac{5}{2}) \\ \sqrt{\frac{175}{4} - \frac{75}{2}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \sqrt{\frac{25}{4}} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{5}{2} + 5 & \overset{?}{=} \frac{5}{2} \\ \frac{15}{2} & \neq \frac{5}{2} \end{aligned}$ ‍

Assim,

x = - \frac{5}{2}

também não é uma solução.

Conclusão

Concluímos que esta equação não tem soluções.

Queres participar na conversa?

Iniciar sessão

Ordenar por:

Ainda não há comentários.

Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.