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Assunto: Geometria 2 > Tema 5
Lição 7: Utilizar razões trigonométricas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retânguloIntrodução às funções trigonométricas inversas
Aprende sobre o arcosseno, arcocosseno e arcotangente e como estas funções podem ser utilizadas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
Vamos analisar um novo tipo de problemas de trigonometria. Curiosamente, estes problemas não podem ser resolvidos com o seno, o cosseno ou a tangente.
Um problema: No triângulo abaixo, qual é a amplitude do ângulo ?
O que sabemos: Relativamente a , sabemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos escrever:
Mas isto não nos ajuda a encontrar a amplitude de . Bloqueámos!
Precisamos de: Precisamos de novas ferramentas matemáticas para resolvermos problemas como este. Os nossos velhos amigos seno, cosseno e tangente não o conseguem fazer. Eles dão-nos as razões trigonométricas de um determinado ângulo, mas precisamos de funções que nos digam a amplitude de um ângulo com determinada razão trigonométrica. Precisamos das funções trigonométricas inversas!
As funções trigonométricas inversas
Já conhecemos operações inversas. Por exemplo, a adição e a subtração são operações inversas e a multiplicação e a divisão são operações inversas. Cada operação faz o contrário da sua inversa.
A ideia é a mesma em trigonometria. As funções de trigonométricas inversas fazem o oposto das funções trigonométricas "regulares". Por exemplo:
- O inverso do seno
faz o contrário do seno. - O inverso do cosseno
faz o contrário do cosseno. - O inverso da tangente
faz o contrário da tangente.
Em geral, se sabemos a razão trigonométricas mas não a amplitude do ângulo, podemos usar a respetiva função trigonométrica inversa para determinar o ângulo. Isto é representado matematicamente nas expressões abaixo.
Funções trigonométricas: o objeto é o ângulo e a imagem é a razão trigonométrica | Funções trigonométricas inversas: o objeto é a razão trigonométrica e a imagem é o ângulo | |
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Alerta para possíveis confusões!
A expressão não é o mesmo que . Por outras palavras, o não é um expoente. Significa apenas que é a função inversa.
No entanto, há uma notação alternativa que evita esta armadilhal! O inverso do seno pode ser representado por , o inverso do cosseno como e o inverso da tangente como . Esta notação é comum em programação informática mas não em matemática.
Resolução do problema introdutório
No problema introdutório, conhecemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos usar o inverso da tangente para determina a amplitude do ângulo.
Vamos tentar resolver alguns exercícios.
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- como se faz quando se tem só uma medida?(1 voto)
- Quando um triângulo tem só a medida de um dos lados por exemplo, podes utilizar o seno ou o coseno dos ângulos numa equação trigonométrica para descobrires o lado que falta. Nestes exemplos, os triângulos costumam ter ângulos internos de 30, 45 ou 60 graus. Ângulos para os quais os valores exatos de seno, coseno e tangente são conhecidos. Assim, e se por exemplo não souberes um dos catetos podes fazer algo como tan(30)=4/x, neste caso consegues determinar um cateto adjacente(2 votos)
- quais sao as respostas?(1 voto)
- E quando aparece sin^-1 em função?(1 voto)