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Assunto: Álgebra 2 > Tema 5

Lição 4: Estudo de funções polinomiais (artigos)

Gráficos de polinómios

Analisar os polinómios para esboçar o gráfico.

Conceitos importantes

Os limites de uma função

f

descrevem o comportamento do gráfico nas "extremidades" do eixo dos

x x

. Algebricamente, os limites são determinados pelas duas questões seguintes:

Quando $x \to + \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ tende para que valor?
Quando $x \to - \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ tende para que valor?

Se isto é novo para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo dos limites de um polinómio.

As raízes da função

f

correspondem às interseções do seu gráfico com o eixo dos

x x

. Se a função

f

tiver uma raiz com multiplicidade ímpar, o seu gráfico irá intersetar o eixo dos

x x

nesse valor

x

. Se a função

f

tiver uma raiz com multiplicidade par, o seu gráfico irá ser tangente ao eixo dos

x x

nesse ponto.

Se isto é novidade para ti, recomendamos que vejas o nosso artigo acerca dos zeros de polinómios.

O que vais aprender nesta lição

Nesta aula, vamos usar as características acima para analisar e desenhar gráficos de polinómios. Vamos usar o esboço para encontrar os intervalos nos quais o polinómio é positivo e negativo.

Analisar funções polinomiais

Vamos agora analisar várias características do gráfico do polinómio

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

Encontrar a interseção com o eixo dos $y y$ ‍

Para encontrar a interseção do gráfico de

f

com o eixo dos

y y

, podemos encontrar

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

A interseção do gráfico de

y = f (x)

com o eixo dos

y y

(0, - 8)

Encontrar as interseções com o eixo dos $x x$ ‍

Para encontrar as interseções com o eixo dos

x x

, podemos resolver a equação

f (x) = 0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & ou x + 2 & = 0 & Anulamento do produto \\ x & = \frac{2}{3} & ou x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

As interseções do gráfico de

y = f (x)

com o eixo dos

x x

são

(\frac{2}{3}, 0)

(- 2, 0)

Os nossos cálculos também mostram que

\frac{2}{3}

é uma raiz de multiplicidade

1

- 2

é uma raiz de multiplicidade

2

. Isto significa que o gráfico irá intersetar o eixo dos

x x

no ponto

(\frac{2}{3}, 0)

e ser tangente ao eixo dos

x x

no ponto

(- 2, 0)

Encontrar os limites

Para encontrar os limites de uma função, podemos examinar o termo dominante quando o polinómio estiver escrito na forma canónica.

Vamos escrever o polinómio na forma canónica.

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

O termo dominante de um polinómio é o primeiro termo que surge quando o polinómio está escrito na forma canónica. Dito de outra forma, é o termo de maior grau.

Como só precisamos de conhecer o termo dominante (e não os termos restantes do polinómio), podemos encontrar isto encontrando o produto dos termos de

x

com as maiores potencias.

Por exemplo, em

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

, podemos multiplicar

3 x

no primeiro fator por

x^{2}

no segundo fator. Isto dá um termo dominante igual a

3 x^{3}

O termo dominante do polinómio é

3 x^{3}

, e por isso os limites da função

f

serão iguais aos limites de

3 x^{3}

Como o grau é ímpar e o coeficiente do termo dominante é positivo, tem-se: no limite em que

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

e no limite em que

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

Desenhar o gráfico

Podemos usar o que encontrámos acima para esboçar o gráfico de

y = f (x)

Vamos começar com os limites:

No limite em que $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
No limite em que $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

Isto significa que nas "extremidades", o gráfico vai ser igual ao gráfico de

y = x^{3}

Agora podemos acrescentar o que sabemos acerca das interseções com o eixo dos

x x

O gráfico é tangente ao eixo dos $x x$ ‍ no ponto $(- 2, 0)$ ‍, pois $- 2$ ‍ é uma raiz com multiplicidade par.
O gráfico interseta o eixo dos $x x$ ‍ em $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍, dado que $\frac{2}{3}$ ‍ é uma raiz com multiplicidade ímpar.

Finalmente, vamos terminar este processo desenhando a interseção do gráfico com o eixo dos

y y

no ponto

(0, - 8)

e vamos preencher os intervalos com uma curva suave e continua.

Temos uma boa ideia da forma global da curva do gráfico da função, apesar de não sabermos exatamente onde é que são os pontos em que a concavidade muda.

Intervalos positivos e negativos

Agora que temos um esboço do gráfico de

f

, é fácil de determinar os intervalos nos quais

f

é positiva, e nos quais é negativa.

Vemos que

f

é positiva quando

x > \frac{2}{3}

e negativa quando

x < - 2

- 2 < x < \frac{2}{3}

Verifica o teu conhecimento

1) Agora vais desenhar um esboço do gráfico de

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

sozinha(o).

a) Qual é a interseção do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ com o eixo dos $y y$ ‍?
$(0$ ‍,
A tua resposta deve ser
um número inteiro como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍
uma fração como $7 / 4$ ‍
um número decimal exato como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

b) Quais são os limites do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Seleciona a opção correta.
(Escolha A)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
No limite em que $x \to + \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍, enquanto que no limite em que $x \to - \infty$ ‍ temos $g (x) \to - \infty$ ‍.

Para encontrar os limites de uma função, podemos examinar o termo dominante quando o polinómio estiver escrito na forma canónica.
Vamos escrever o polinómio na forma canónica.
$\begin{aligned} g (x) & = (x + 1) (x - 2) (x + 5) \\ g (x) & = (x + 1) (x^{2} + 3 x - 10) \\ g (x) & = x^{3} + 3 x^{2} - 10 x + x^{2} + 3 x - 10 \\ g (x) & = x^{3} + 4 x^{2} - 7 x - 10 \end{aligned}$ ‍
O termo dominante do polinómio é $x^{3}$ ‍, e por isso os limites da função $g$ ‍ serão iguais aos limites de $x^{3}$ ‍.
Como o grau é ímpar e o coeficiente do termo dominante é positivo, os limites serão: no limite em que $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e no limite em que $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

c) Quais são as interseções do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍ com o eixo dos $x x$ ‍?
Seleciona a opção correta.
(Escolha A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍, e $(5, 0)$ ‍
(Escolha B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍, e $(- 5, 0)$ ‍

d) Qual dos gráficos seguintes é que poderia ser o gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Seleciona a opção correta.
(Escolha A)
(Escolha B)
(Escolha C)
(Escolha D)

2) Qual dos seguintes gráficos é que poderia ser o gráfico de $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍

Vamos encontrar os limites e quaisquer interseções de

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

. Depois, podemos usar isto para desenhar o gráfico.

Interseção com o eixo dos $y y$ ‍

Para encontrar a interseção com o eixo dos

y y

, podemos substituir

x

por

0

e resolver em ordem a

y

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - 0) (0 + 1)^{2} \\ y & = 2 \end{aligned}$ ‍

A interseção com o eixo dos

y y

(0, 2)

Interseção com o eixo dos $x x$ ‍

Para encontrar as interseções com o eixo dos

x x

, podemos substituir

y

por

0

e resolver em ordem a

x

\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 0 & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ 2 & - x = 0 ou x + 1 = 0 \\ x & = 2 ou x = - 1 \end{aligned}

Como

- 1

é uma raiz com multiplicidade par, o gráfico irá ser tangente ao eixo dos

x x

(- 1, 0)

, e como

2

é uma raiz com multiplicidade ímpar, o gráfico irá intersetar o eixo dos

x x

no ponto

(2, 0)

Limites

Para determinar os limites, podemos examinar o termo dominante do polinómio. Se escrevermos o polinómio na forma canónica, temos:

$\begin{aligned} y & = (2 - x) (x + 1)^{2} \\ y & = (2 - x) (x^{2} + 2 x + 1) \\ y & = 2 x^{2} + 4 x + 2 - x^{3} - 2 x^{2} - x \\ y & = - x^{3} + 3 x + 2 \end{aligned}$ ‍

Por isso, no limite, o gráfico de

y = (2 - x) (x + 1)^{2}

irá ser igual ao gráfico de

y = - x^{3}

Tem-se: No limite em que

x \to + \infty

y \to - \infty

, e no limite em que

x \to - \infty

y \to + \infty

Esboçar o gráfico

Podemos então deduzir que o único gráfico possível é o gráfico

D

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Álgebra 2

Assunto: Álgebra 2 > Tema 5

Conceitos importantes

O que vais aprender nesta lição

Analisar funções polinomiais

Encontrar a interseção com o eixo dos yy‍

Encontrar as interseções com o eixo dos xx‍

Encontrar os limites

Desenhar o gráfico

Intervalos positivos e negativos

Verifica o teu conhecimento

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Encontrar a interseção com o eixo dos $y y$ ‍

Encontrar as interseções com o eixo dos $x x$ ‍