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O que são componentes da velocidade vetorial?

Aprende a simplificar vetores usando decomposição.

Porque é que decompomos vetores em componentes?

O movimento a duas dimensões é mais complexo do que o movimento a uma dimensão, porque as velocidades podem tomar direções diagonais. Por exemplo, uma bola de ténis pode deslocar-se na direção horizontal e na direção vertical ao mesmo tempo, se a direção da sua velocidade v for diagonal. Por isso, de forma a simplificar os cálculos, decompomos o vetor velocidade da bola de ténis, v, em duas componentes: horizontal vx, e vertical vy.
Tentar resolver o problema usando as duas componentes da velocidade numa só equação é difícil. A melhor estratégia é dividir o problema e resolver por partes.
Decompor a velocidade diagonal v nas componentes horizontal vx e vertical vy permite-nos lidar com cada direção separadamente. Essencialmente, passamos a ser capazes de transformar um problema difícil a duas dimensões em dois problemas mais fáceis a uma dimensão. Esta estratégia funciona mesmo quando o vetor representa qualquer outra grandeza física para além da velocidade, por exemplo, força, momento, ou campo elétrico. Vais usar esta estratégia vezes sem conta na física, por isso é importante que sejas capaz de lidar com componentes vetoriais o mais rápido possível.

Como decompor um vetor em componentes?

Antes de falarmos sobre a decomposição de vetores, devemos ter em conta que a trigonometria já nos dá a capacidade de relacionar os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo—hipotenusa, cateto adjacente, cateto oposto—e um dos ângulos, θ, tal como se pode ver na figura abaixo.
senθ=cateto opostohipotenusa
cosθ=cateto adjacentehipotenusa
tgθ=cateto opostocateto adjacente
Quando separamos qualquer vetor diagonal em duas componentes perpendiculares, o vetor diagonal e as duas componentes—v,vy,vx—formam um triângulo retângulo. Por causa disso, podemos aplicar as mesmas regras da trigonometria à magnitude do vetor velocidade e às respetivas componentes, tal como se pode ver na figura abaixo. Tem em consideração que vx corresponde ao cateto adjacente, vy ao cateto oposto, e v à hipotenusa.
senθ=vyv
cosθ=vxv
tgθ=vyvx
Nota que o v nestas fórmulas refere-se à magnitude do vetor da velocidade, à velocidade total, e portanto nunca pode ser negativo. As componentes individuais vx e vy podem ser negativas se apontarem num sentido negativo. A convenção é que o sentido negativo da direção horizontal x é para a esquerda, e o sentido negativo da direção vertical y é para baixo.

Como é que determinas a magnitude e o ângulo do vetor da velocidade total?

Nas secções anteriores vimos como é que a magnitude e o ângulo de um vetor podem ser decompostos nas componentes horizontal e vertical. Mas e se te derem as componentes da velocidade vy e vx? Como é que podes usar as componentes para encontrar a magnitude v e o ângulo θ do vetor da velocidade total?
Encontrar a magnitude do vetor velocidade total não é muito difícil, pois para qualquer triângulo retângulo os comprimentos dos lados e a hipotenusa estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras.
v2=vx2+vy2
Tomando a raiz quadrada, obtemos a magnitude do vetor velocidade total em termos das componentes.
v=vx2+vy2

Além disso, se conhecermos as duas componentes do vetor total, podemos encontrar o ângulo do vetor total usando a tg θ.
tgθ=vyvx
Tomando a inversa da tangente, obtemos o ângulo da velocidade total em termos das componentes.
θ=tg1(vyvx)

Quais é que são as dificuldades relacionadas com as componentes de um vetor?

Quando usamos θ=tg1(vyvx), o facto de colocarmos vy no numerador como cateto oposto e vx no denominador como cateto adjacente, significa que estamos a medir o ângulo a partir do eixo horizontal. Descobrir como desenhar o ângulo pode parecer confuso, mas aqui estão duas dicas que te vão ajudar:
Assumindo que escolhemos direita/cima como sentidos positivos, se a componente horizontal vx for positiva, o vetor aponta para a direita. Se a componente horizontal vx for negativa, o vetor aponta para a esquerda.
Da mesma forma, assumindo que escolhemos direita/cima como sentidos positivos, se a componente vertical vy for positiva, o vetor aponta para cima. Se a componente vertical vy for negativa, o vetor aponta para baixo.
Assim, por exemplo, se as componentes de um vetor forem vx=12 m/s e vy=10 m/s, o vetor deve apontar para a esquerda—pois vx é negativo—e para cima—pois vy é positivo.
Verificação de conceitos: Se um avião de papel tem uma velocidade com componentes vx=7 m/s e vy=5 m/s, qual é a direção em que o avião de papel se está a deslocar—assumindo que as direções positivas são para a direita e para cima.
Seleciona a opção correta.

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem as componentes de um vetor?

Exemplo 1: Marca golos como o Ronaldo

Uma bola de futebol é chutada para cima e para a direita segundo um ângulo de 30 com uma velocidade 24,3 m/s, tal como se pode ver na figura abaixo.
Qual é a componente vertical da velocidade no momento mostrado?
Qual é a componente horizontal da velocidade no momento mostrado?
Para encontrarmos a componente vertical da velocidade, vamos usar sen θ=cateto opostohipotenusa=vyv. A hipotenusa é a magnitude da velocidade 24,3 m/s, v, e o cateto oposto ao ângulo 30 é a componente vertical vy.
senθ=vyv(Usa a definição do seno.)
vy=vsenθ(Resolve em ordem à componente vertical.)
vy=(24,3 m/s)sen(30)(Substitui os valores.)
vy=12,2 m/s(Calcula e celebra!)
Para encontrar a componente horizontal, vamos usar cosθ=cateto adjacentehipotenusa=vxv.
cosθ=vxv(Usa a definição de cosseno.)
vx=vcosθ(Resolve em ordem à componente horizontal.)
vx=(24,3 m/s)cos(30)(Substitui os valores.)
vx=21,0 m/s(Calcula e celebra!)

Exemplo 2: Gaivota zangada

Uma gaivota zangada voa sobre Lisboa com uma componente horizontal da velocidade vx=14,6 m/s e uma componente vertical da velocidade vy=8,62 m/s.
Qual é a magnitude da velocidade total da gaivota?
Qual é o ângulo da velocidade total?
Assume que os sentidos positivos são cima/direita, e considera que todos os ângulos são medidos no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, a partir do eixo positivo do x.
Vamos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude do vetor da velocidade total.
v2=vx2+vy2(Teorema de Pitágoras.)
v=vx2+vy2(Raiz quadrada em ambos os membros.)
v=(14,6 m/s)2+(8,62 m/s)2(Substitui os valores numéricos.)
v=17,0 m/s(Calcula e celebra!)
Para encontrar o ângulo, vamos usar a definição da tangente, mas como agora conhecemos v, podíamos ter usado seno ou cosseno.
tgθ=vyvx(Usa a definição da tangente.)
θ=tg1(vyvx)(Inversa da tangente em ambos os membros.)
θ=tg1(8,62 m/s14,6 m/s)(Substitui as magnitudes.)
θ=30,6(Calcula e celebra!)
Como a componente vertical é vy=8,62 m/s, sabemos que o sentido do vetor é de cima para baixo, e como vx=14,6 m/s, sabemos que o vetor aponta da esquerda para a direita. Por isso, vamos desenhar o vetor no quarto quadrante.
A gaivota está a deslocar-se com uma velocidade de 17,0 m/s, com um ângulo de 30,6 abaixo da horizontal.

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