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O que são componentes da velocidade vetorial?

Aprende a simplificar vetores usando decomposição.

Porque é que decompomos vetores em componentes?

O movimento a duas dimensões é mais complexo do que o movimento a uma dimensão, porque as velocidades podem tomar direções diagonais. Por exemplo, uma bola de ténis pode deslocar-se na direção horizontal e na direção vertical ao mesmo tempo, se a direção da sua velocidade

v

for diagonal. Por isso, de forma a simplificar os cálculos, decompomos o vetor velocidade da bola de ténis,

v

, em duas componentes: horizontal

v_{x}

, e vertical

v_{y}

Tentar resolver o problema usando as duas componentes da velocidade numa só equação é difícil. A melhor estratégia é dividir o problema e resolver por partes.

[Podemos decompor um vetor noutras direções para além das direções horizontal e vertical?]

Decompor a velocidade diagonal

v

nas componentes horizontal

v_{x}

e vertical

v_{y}

permite-nos lidar com cada direção separadamente. Essencialmente, passamos a ser capazes de transformar um problema difícil a duas dimensões em dois problemas mais fáceis a uma dimensão. Esta estratégia funciona mesmo quando o vetor representa qualquer outra grandeza física para além da velocidade, por exemplo, força, momento, ou campo elétrico. Vais usar esta estratégia vezes sem conta na física, por isso é importante que sejas capaz de lidar com componentes vetoriais o mais rápido possível.

Como decompor um vetor em componentes?

Antes de falarmos sobre a decomposição de vetores, devemos ter em conta que a trigonometria já nos dá a capacidade de relacionar os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo—hipotenusa, cateto adjacente, cateto oposto—e um dos ângulos,

θ

, tal como se pode ver na figura abaixo.

sen θ = \frac{cateto oposto}{hipotenusa}

\cos θ = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa}

tg θ = \frac{cateto oposto}{cateto adjacente}

Quando separamos qualquer vetor diagonal em duas componentes perpendiculares, o vetor diagonal e as duas componentes—

v, v_{y}, v_{x}

—formam um triângulo retângulo. Por causa disso, podemos aplicar as mesmas regras da trigonometria à magnitude do vetor velocidade e às respetivas componentes, tal como se pode ver na figura abaixo. Tem em consideração que

v_{x}

corresponde ao cateto adjacente,

v_{y}

ao cateto oposto, e

v

à hipotenusa.

[Espera, os comprimentos são diferentes das velocidades. Como é que estas regras também funcionam para os vetores velocidade?]

sen θ = \frac{v_{y}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v}

tg θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

[E se precisarmos de relacionar as componentes com o outro ângulo?]

Nota que o

v

nestas fórmulas refere-se à magnitude do vetor da velocidade, à velocidade total, e portanto nunca pode ser negativo. As componentes individuais

v_{x}

v_{y}

podem ser negativas se apontarem num sentido negativo. A convenção é que o sentido negativo da direção horizontal

x

é para a esquerda, e o sentido negativo da direção vertical

y

é para baixo.

Como é que determinas a magnitude e o ângulo do vetor da velocidade total?

Nas secções anteriores vimos como é que a magnitude e o ângulo de um vetor podem ser decompostos nas componentes horizontal e vertical. Mas e se te derem as componentes da velocidade

v_{y}

v_{x}

? Como é que podes usar as componentes para encontrar a magnitude

v

e o ângulo

θ

do vetor da velocidade total?

Encontrar a magnitude do vetor velocidade total não é muito difícil, pois para qualquer triângulo retângulo os comprimentos dos lados e a hipotenusa estão relacionados pelo Teorema de Pitágoras.

v^{2} = {v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}

Tomando a raiz quadrada, obtemos a magnitude do vetor velocidade total em termos das componentes.

v = \sqrt{{v_{x}}^{2} + {v_{y}}^{2}}

Além disso, se conhecermos as duas componentes do vetor total, podemos encontrar o ângulo do vetor total usando a

tg θ

tg θ = \frac{v_{y}}{v_{x}}

Tomando a inversa da tangente, obtemos o ângulo da velocidade total em termos das componentes.

θ = {tg}^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

[Porque é que não posso usar sen ou cos para encontrar o ângulo?]

Quais é que são as dificuldades relacionadas com as componentes de um vetor?

Quando usamos

θ = {tg}^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}})

, o facto de colocarmos

v_{y}

no numerador como cateto oposto e

v_{x}

no denominador como cateto adjacente, significa que estamos a medir o ângulo a partir do eixo horizontal. Descobrir como desenhar o ângulo pode parecer confuso, mas aqui estão duas dicas que te vão ajudar:

Assumindo que escolhemos direita/cima como sentidos positivos, se a componente horizontal

v_{x}

for positiva, o vetor aponta para a direita. Se a componente horizontal

v_{x}

for negativa, o vetor aponta para a esquerda.

Da mesma forma, assumindo que escolhemos direita/cima como sentidos positivos, se a componente vertical

v_{y}

for positiva, o vetor aponta para cima. Se a componente vertical

v_{y}

for negativa, o vetor aponta para baixo.

Assim, por exemplo, se as componentes de um vetor forem

v_{x} = - 12 m/s

v_{y} = 10 m/s

, o vetor deve apontar para a esquerda—pois

v_{x}

é negativo—e para cima—pois

v_{y}

é positivo.

Verificação de conceitos: Se um avião de papel tem uma velocidade com componentes

v_{x} = - 7 m/s

v_{y} = - 5 m/s

, qual é a direção em que o avião de papel se está a deslocar—assumindo que as direções positivas são para a direita e para cima.

[O sinal do ângulo que obtemos fazendo a inversa da tangente diz-nos como desenhar o vetor?]

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem as componentes de um vetor?

Exemplo 1: Marca golos como o Ronaldo

Uma bola de futebol é chutada para cima e para a direita segundo um ângulo de 30

^{\circ}

com uma velocidade

24, 3

m/s, tal como se pode ver na figura abaixo.

Qual é a componente vertical da velocidade no momento mostrado?

Qual é a componente horizontal da velocidade no momento mostrado?

Para encontrarmos a componente vertical da velocidade, vamos usar

sen θ = \frac{cateto oposto}{hipotenusa} = \frac{v_{y}}{v}

. A hipotenusa é a magnitude da velocidade

24, 3

m/s,

v

, e o cateto oposto ao ângulo 30

^{\circ}

é a componente vertical

v_{y}

sen θ = \frac{v_{y}}{v} (Usa a definição do seno.)

v_{y} = v sen θ (Resolve em ordem à componente vertical.)

v_{y} = (24, 3 m/s) sen (30^{\circ}) (Substitui os valores.)

v_{y} = 12, 2 m/s (Calcula e celebra!)

Para encontrar a componente horizontal, vamos usar

\cos θ = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa} = \frac{v_{x}}{v}

\cos θ = \frac{v_{x}}{v} (Usa a definição de cosseno.)

v_{x} = v \cos θ (Resolve em ordem à componente horizontal.)

v_{x} = (24, 3 m/s) \cos (30^{\circ}) (Substitui os valores.)

v_{x} = 21, 0 m/s (Calcula e celebra!)

Exemplo 2: Gaivota zangada

Uma gaivota zangada voa sobre Lisboa com uma componente horizontal da velocidade

v_{x} = 14, 6 m/s

e uma componente vertical da velocidade

v_{y} = - 8, 62 m/s

Qual é a magnitude da velocidade total da gaivota?

Qual é o ângulo da velocidade total?

Assume que os sentidos positivos são cima/direita, e considera que todos os ângulos são medidos no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, a partir do eixo positivo do x.

Vamos usar o Teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude do vetor da velocidade total.

v^{2} = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} (Teorema de Pitágoras.)

v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}} (Raiz quadrada em ambos os membros.)

v = \sqrt{(14, 6 m/s)^{2} + (- 8, 62 m/s)^{2}} (Substitui os valores numéricos.)

v = 17, 0 m/s (Calcula e celebra!)

Para encontrar o ângulo, vamos usar a definição da

tangente

, mas como agora conhecemos

v

, podíamos ter usado

seno

cosseno

tg θ = \frac{v_{y}}{v_{x}} (Usa a definição da tangente.)

θ = {tg}^{- 1} (\frac{v_{y}}{v_{x}}) (Inversa da tangente em ambos os membros.)

θ = {tg}^{- 1} (\frac{8, 62 m/s}{14, 6 m/s}) (Substitui as magnitudes.)

θ = 30, 6^{\circ} (Calcula e celebra!)

Como a componente vertical é

v_{y} = - 8, 62 m/s

, sabemos que o sentido do vetor é de cima para baixo, e como

v_{x} = 14, 6 m/s

, sabemos que o vetor aponta da esquerda para a direita. Por isso, vamos desenhar o vetor no quarto quadrante.

A gaivota está a deslocar-se com uma velocidade de

17, 0 m/s

, com um ângulo de

30, 6^{\circ}

abaixo da horizontal.

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Física

Assunto: Física > Tema 2