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Física

Assunto: Física > Tema 1

Lição 4: Equações cinemáticas e movimento de projéteis

O que são as fórmulas cinemáticas?

As principais equações que poderás usar para analisar problemas com aceleração constante.

O que são as equações do movimento?

As equações do movimento são um conjunto de fórmulas que relacionam as cinco variáveis da cinemática listadas abaixo.

Δ x Deslocamento

t Intervalo de tempo

v_{0} Velocidade inicial

v Velocidade final

a Aceleração constante

[Porque é que o intervalo de tempo está agora escrito como t?]

Se conhecermos três destas cinco variáveis—

Δ x, t, v_{0}, v, a

—para um objeto que se desloque com uma aceleração constante, podemos usar uma equação do movimento, vê abaixo, para resolver em ordem a uma das variáveis que desconhecemos.

Normalmente, as equações do movimento são escritas na seguinte forma:

[De onde vieram estas equações?]

1. v = v_{0} + a t

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

Como as equações do movimento são precisas apenas se a aceleração for constante durante o intervalo de tempo considerado, temos de ter cuidado para não usá-las quando a aceleração estiver a mudar. Além disso, as equações do movimento assumem que todas as variáveis se referem à mesma direção do movimento: horizontal

x

, vertical

y

, etc.

[Espera, como assim?]

O que é um objeto em queda-livre (projétil)?

Pode parecer que o facto de as equações do movimento apenas funcionarem para intervalos de tempo de aceleração constante limita a aplicabilidade dessas equações. No entanto, no movimento de queda-livre, que é um dos movimentos mais comuns, a aceleração também é constante.

Todos os objetos em queda-livre—também chamados de projeteis—na Terra, independentemente da sua massa, têm aceleração de magnitude constante e igual a

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

para baixo devido à gravidade.

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}} (Magnitude da aceleração devido à gravidade.)

Um objeto em queda-livre é definido como sendo qualquer objeto que está a acelerar apenas devido à influência da gravidade. Normalmente assumimos que a resistência do ar é pequena o suficiente para ser ignorada, o que significa que qualquer objeto que seja largado ou atirado, a voar livremente pelo ar, é considerado um projétil em queda-livre com uma aceleração constante para baixo de magnitude

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

Isto é estranho e também é uma sorte se pensarmos bem. É estranho porque significa que uma rocha grande vai acelerar para baixo com a mesma aceleração de um pequeno calhau, e se largados da mesma altura inicial, atingem o chão no mesmo instante de tempo.

[Como é que isto pode ser?]

É uma sorte pois não precisamos de conhecer a massa do projétil quando resolvemos as equações do movimento, porque um objeto em queda-livre terá a mesma magnitude da aceleração,

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, independentemente da sua massa—desde que a resistência do ar seja negligenciável.

Nota que

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

é apenas a magnitude da aceleração devido à gravidade. Se convencionarmos o sentido positivo como sendo para cima, a aceleração causada pela gravidade é negativa

a_{y} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

para um projétil quando substituímos nas equações do movimento.

Atenção: Esquecermo-nos de incluir um sinal negativo é uma das fontes de erro mais comuns quando usamos as equações do movimento.

Como é que escolhes e usas uma equação do movimento?

Escolhemos uma equação do movimento que inclua tanto a variável que não conhecemos e que procuramos, como três das variáveis do movimento que já conhecemos. Desta forma, podemos resolver em ordem à variável que desconhecemos e que queremos encontrar, que irá ser a única incógnita na fórmula.

Por exemplo, imagina que sabíamos que um livro inicialmente em repouso no chão tinha sido chutado para a frente com uma velocidade inicial

v_{0} = 5 m/s

, após o qual demorou um intervalo de tempo de

t = 3 s

para o livro deslizar um deslocamento de

Δ x = 8 m

. Podíamos usar a fórmula da cinemática

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

para resolver algebricamente em ordem à aceleração desconhecida do livro

a

—assumindo que a aceleração foi constante—pois conhecemos qualquer outra variável na fórmula para além de

a

—

Δ x, v_{0}, t

Pista para a resolução de problemas: Nota que em cada equação do movimento falta uma das cinco variáveis do movimento—

Δ x, t, v_{0}, v, a

1. v = v_{0} + a t (Nesta equação falta o Δ x .)

2. Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Nesta equação falta o a .)

3. Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2} (Nesta equação falta o v .)

4. v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x (Nesta equação falta o t .)

Para escolheres a equação do movimento que está correta para o teu problema, encontra qual é que é a variável que não te é dada e que não te é pedida. Por exemplo, no problema acima, a velocidade final

v

do livro não foi dada nem foi pedida, por isso escolhemos uma equação que não inclui

v

. A equação do movimento

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

não tem

v

, por isso é a escolha certa neste caso para resolver em ordem à aceleração

a

[Não deveria haver uma quinta equação do movimento que não tenha a velocidade inicial?]

Como é que derivas a primeira equação do movimento, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Esta equação do movimento é provavelmente a mais fácil de derivar, pois quando resolvida em ordem a

a

é igual à definição de aceleração. Podemos começar com a definição de aceleração:

a = \frac{Δ v}{Δ t}

[Isto não é a aceleração média?]

Agora podemos substituir

Δ v

com a definição de variação da velocidade

v - v_{0}

a = \frac{v_{-} v_{0}}{Δ t}

Finalmente, se resolvemos em ordem a

v

obtemos:

v = v_{0} + a Δ t

E se concordarmos em usar apenas

t

para

Δ t

, obtemos a primeira equação do movimento.

v = v_{0} + a t

Como é que derivas a segunda equação do movimento, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Uma forma interessante de visualmente derivares esta equação do movimento é considerando o gráfico da velocidade para um objeto com aceleração constante—por outras palavras, com um declive constante—e que comece com uma velocidade inicial

v_{0}

, tal como no gráfico abaixo.

A área debaixo de qualquer gráfico da velocidade dá o deslocamento $Δ x$ ‍. Por isso, a área debaixo deste gráfico da velocidade será o deslocamento

Δ x

do objeto.

Δ x = área total

Podemos partir convenientemente esta área num retângulo azul e num triângulo vermelho, tal como se pode ver no gráfico acima.

A altura do retângulo azul é

v_{0}

e a largura é

t

, por isso a área do retângulo azul é

v_{0} t

.
A base do triângulo vermelho é

t

e a altura é

v - v_{0}

, por isso a área do triângulo vermelho é

\frac{1}{2} t (v - v_{0})

A área total será a soma das áreas do retângulo azul e do triângulo vermelho.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} t (v - v_{0})

Se distribuirmos o fator de

\frac{1}{2} t

obtemos:

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} v t - \frac{1}{2} v_{0} t

Podemos simplificar combinando os temos com

v_{0}

para obter:

Δ x = \frac{1}{2} v t + \frac{1}{2} v_{0} t

E, finalmente, podemos rescrever o lado direito da equação para obtermos a segunda equação do movimento.

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Esta equação é interessante pois se dividires ambos os membros por

t

, obtens

\frac{Δ x}{t} = (\frac{v + v_{0}}{2})

. Isto mostra que a velocidade média

\frac{Δ x}{t}

é igual à média das velocidades final e inicial

\frac{v + v_{0}}{2}

. No entanto, isto só é verdade se assumirmos que a aceleração é constante, pois derivámos esta fórmula a partir do gráfico da velocidade com um declive constante/aceleração.

Como é que derivas a terceira equação do movimento, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Existem duas maneiras de derivar a equação

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

. Uma maneira geométrica que é interessante e uma maneira menos interessante por manipulação algébrica. Vamos fazer a derivação interessante primeiro.

Considera um objeto que começa com uma velocidade

v_{0}

e mantém uma aceleração constante até atingir uma velocidade final

v

, tal como se pode ver no gráfico abaixo.

Como a área debaixo de um gráfico da velocidade dá o deslocamento

Δ x

, cada termo do lado direito da equação

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

representa uma área no gráfico acima.

O termo

v_{0} t

representa a área do retângulo azul pois

A_{r e t â n g u l o} = h w

O termo

\frac{1}{2} a t^{2}

representa a área do triângulo vermelho pois

A_{t r i â n g u l o} = \frac{1}{2} b h

[Espera, como?]

É isso. A fórmula

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

tem de ser verdadeira pois o deslocamento tem de ser dado pela área total debaixo da curva. Nós assumimos que o gráfico da velocidade era uma linha diagonal de forma a que pudéssemos usar a fórmula do triângulo, por isso esta equação do movimento—tal como todas as outras equações do movimento—é verdadeira apenas se assumirmos que a aceleração é constante.

Aqui está a maneira alternativa mais algébrica de derivar a equação. A terceira equação do movimento pode ser derivada substituindo a primeira equação do movimento,

v = v_{0} + a t

, na segunda equação do movimento,

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

Se começarmos com a segunda equação do movimento

\frac{Δ x}{t} = \frac{v + v_{0}}{2}

e usarmos

v = v_{0} + a t

para substituir

v

, obtemos

\frac{Δ x}{t} = \frac{(v_{0} + a t) + v_{0}}{2}

Podemos expandir o lado direito da equação e obter

\frac{Δ x}{t} = \frac{v_{0}}{2} + \frac{a t}{2} + \frac{v_{0}}{2}

Combinando os termos

\frac{v_{0}}{2}

do lado direito da equação dá-nos

\frac{Δ x}{t} = v_{0} + \frac{a t}{2}

E, finalmente, multiplicando ambos os membros pelo tempo

t

dá-nos a terceira equação do movimento.

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

Novamente, usámos outras equações do movimento, que têm o requisito da aceleração ser constante, por isso esta terceira equação do movimento também é verdadeira apenas se assumirmos que a aceleração é constante.

Como é que derivas a quarta equação do movimento, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Para derivar a quarta equação do movimento, vamos começar com a segunda equação do movimento:

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

Queremos eliminar o tempo

t

desta fórmula. Para fazer isto, vamos resolver a primeira equação do movimento,

v = v_{0} + a t

, em ordem ao tempo para obter

t = \frac{v - v_{0}}{a}

. Se substituirmos esta expressão para o tempo na segunda equação do movimento, obtemos

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) (\frac{v - v_{0}}{a})

Multiplicando as frações do lado direito dá-nos

Δ x = (\frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2 a})

Finalmente, resolvendo em ordem a

v^{2}

obtemos a quarta equação do movimento.

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x

O que é que é confuso acerca das equações do movimento?

Normalmente as pessoas esquecem-se de que as equações do movimento são verdadeiras apenas se assumirmos que a aceleração é constante durante o intervalo de tempo considerado.

Algumas vezes uma variável conhecida não será explicitamente dada num problema, em vez disso será implicada com palavras. Por exemplo, "começar do repouso" significa que

v_{0} = 0

, "largado" significa que

v_{0} = 0

, e "chega a uma posição de repouso" significa que

v = 0

. Além disso, assume-se que a magnitude da aceleração devido à gravidade em todos os projéteis em queda-livre é

g = 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

, por isso normalmente esta aceleração não será dada explicitamente num problema, mas será implicada para um objeto em queda-livre.

As pessoas esquecem-se de que todas as variáveis do movimento—

Δ x, v_{o}, v, a

—exceto

t

podem ser negativas. Um sinal negativo em falta é uma fonte de erro bastante comum. Se o sentido convencionado como positivo for para cima, então a aceleração devido à gravidade para um objeto em queda-livre tem de ser negativa:

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

A terceira equação do movimento,

Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}

, pode exigir o uso da fórmula resolvente, vê o exemplo 3 resolvido embaixo.

As pessoas esquecem-se de que mesmo que escolhas qualquer intervalo de tempo ao longo do qual a aceleração é constante, as variáveis do movimento que substituis numa equação do movimento têm de ser consistentes com esse intervalo de tempo. Por outras palavras, a velocidade inicial

v_{0}

tem de ser a velocidade do objeto na posição inicial e no instante inicial do intervalo de tempo

t

. Da mesma forma, a velocidade final

v

deve ser a velocidade na posição final e no instante final do intervalo de tempo

t

que está a ser analisado.

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem as equações do movimento?

Exemplo 1: Primeira equação do movimento, $v = v_{0} + a t$ ‍

Um balão enchido com água é largado do topo de um edifício muito alto.

Qual é a velocidade do balão após cair durante $t = 2, 35 s$ ‍?

Assumindo que o sentido positivo é para cima, as variáveis que conhecemos são

v_{0} = 0

(Como o balão foi largado, começou do repouso.)

t = 2, 35 s

(Este é o intervalo de tempo após o qual queremos encontrar a velocidade.)

a_{g} = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(Isto é implicado pois o balão é um objeto em queda-livre.)

[A velocidade final não é zero, dado que atinge o chão?]

O movimento é vertical nesta situação, por isso vamos usar

y

para denotar a variável da posição em vez de

x

. O símbolo que escolhemos não importa desde que sejamos consistentes, mas normalmente as pessoas usam

y

para indicar o movimento vertical.

Como não conhecemos o deslocamento

Δ y

e não nos é pedido para encontrar o deslocamento

Δ y

, vamos usar a primeira equação do movimento

v = v_{0} + a t

, que não tem

Δ y

v = v_{0} + a t (Usa a primeira equação do movimento, pois não tem Δ y .)

v = 0 m/s + (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (2, 35 s) (Substitui os valores conhecidos.)

v = - 23, 1 m/s (Calcula e celebra!)

Nota: A velocidade final foi negativa pois o balão com água estava a deslocar-se para baixo.

[Não podemos considerar o sentido positivo para baixo?]

Exemplo 2: Segunda equação do movimento, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Um leopardo está a correr a uma velocidade de

6, 20

m/s e após ver uma miragem com a forma de uma carrinha de gelados; o leopardo acelera até

23, 1

m/s num intervalo de tempo de

3, 3

Qual foi a distância percorrida pelo leopardo ao ir de $6, 20$ ‍ m/s até $23, 1$ ‍ m/s?

Assumindo que o sentido inicial do movimento é o sentido positivo, as variáveis que conhecemos são

v_{0} = 6, 20 m/s

(Velocidade inicial do leopardo)

v = 23, 1 m/s

(Velocidade final leopardo)

t = 3, 30 s

(Tempo que o leopardo levou a acelerar)

Como não sabemos a aceleração

a

e não nos é pedido para determinar

a

, vamos usar a segunda equação do movimento para a direção horizontal

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t

, que não tem

a

Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t (Usa a segunda equação do movimento pois não tem a .)

Δ x = (\frac{23, 1 m/s + 6, 20 m/s}{2}) (3, 30 s) (Substitui os valores.)

Δ x = 48, 3 m (Calcula e celebra!)

Exemplo 3: Terceira equação do movimento, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Uma aluna cansada de resolver as equações do movimento que tem como trabalho de casa, atira o lápis para cima com uma velocidade de

18, 3

m/s.

Quanto tempo é que o lápis demora a atingir uma altura de $12, 2$ ‍ m, a partir do ponto em que foi lançado?

Assumindo que o sentido positivo é para cima, as variáveis que conhecemos são

v_{0} = 18, 3 m/s

(Velocidade inicial do lápis para cima.)

Δ y = 12, 2 m

(Queremos saber o intervalo de tempo que o lápis demora a deslocar-se

12, 2 m

a = - 9, 81 \frac{m}{s^{2}}

(O lápis é um projétil em queda-livre.)

Como não sabemos a velocidade final

v

e não nos é pedido para determinar a velocidade final, vamos usar a terceira equação do movimento para a direção vertical

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2}

, que não tem

v

Δ y = v_{0 y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} (Começar com a terceira equação do movimento.)

Normalmente iríamos resolver algebricamente a nossa expressão apenas para a variável que queremos encontrar, mas esta equação do movimento não pode ser resolvida algebricamente em ordem ao tempo se nenhum dos termos for zero. Isto acontece porque quando nenhum dos termos é zero e

t

é uma variável desconhecida, esta equação torna-se numa equação quadrática. Podemos ver isto substituindo os valores que conhecemos.

12, 2 m = (18, 3 m/s) t + \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} (Substitui os valores conhecidos.)

Para colocar todos os termos num só membro da equação, subtraímos

12, 2

m em ambos os membros

0 = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) t^{2} + (18, 3 m/s) t - 12, 2 m (Coloca na forma da equação quadrática.)

Nesta fase, resolvemos a equação quadrática em ordem ao tempo

t

. As soluções de uma equação quadrática na forma

a t^{2} + b t + c = 0

são encontradas usando a fórmula resolvente

t = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

. Para a nossa equação do movimento

a = \frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})

b = 18, 3 m/s

, e

c = - 12, 2 m

Assim, substituindo estes valores na fórmula resolvente, obtemos

t = \frac{- 18, 3 m/s \pm \sqrt{(18, 3 m/s)^{2} - 4 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}}) (- 12, 2 m)]}}{2 [\frac{1}{2} (- 9, 81 \frac{m}{s^{2}})]}

Como existe um sinal mais ou um sinal menos na fórmula resolvente, obtemos duas respostas para o tempo

t

: Uma quando usamos o sinal

+

e uma quando usamos o sinal

-

. Resolvendo a fórmula resolvente acima obtemos os seguintes tempos:

t = 0,869 s

t = 2, 86 s

Existem duas soluções positivas possíveis, pois existem dois tempos referentes a quando o lápis está a uma altura de

12, 2 m

. O tempo mais pequeno refere-se ao tempo que é necessário para atingir pela primeira vez a altura de

12, 2 m

. O tempo maior refere-se ao tempo que é necessário para passar a altura de

12, 2 m

, atingir a altura máxima, e passar novamente pelo ponto de altura

12, 2 m

enquanto o lápis cai.

Por isso, para encontrar a resposta à nossa pergunta de "Quanto tempo é que o lápis demora a atingir uma altura de

12, 2

m, a partir do ponto em que foi lançado?" iríamos escolher o tempo mais pequeno de

t = 0,869 s

[E se a fórmula resolvente der uma resposta negativa?]

Exemplo 4: Quarta equação do movimento, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍

Um motociclista Europeu começa com uma velocidade de

23, 4 m/s

e, após ver um semáforo uns metros à frente, decide abrandar ao longo de uma distância de

50, 2 m

com uma desaceleração constante de magnitude

3, 20 \frac{m}{s^{2}}

. Assume que o motociclo se está a deslocar para a frente ao longo de toda a viagem.

Qual é a nova velocidade do motociclista após abrandar ao longo de $50, 2 m$ ‍?

Assumindo que o sentido inicial do movimento é o sentido positivo, as variáveis que conhecemos são

v_{0} = 23, 4 m/s

(Velocidade inicial para a frente do motociclo.)

a = - 3, 20 \frac{m}{s^{2}}

(A aceleração é negativa, pois o motociclo está a abrandar e assumimos que o sentido positivo é para a frente.)

Δ x = 50, 2 m

(Queremos saber a velocidade após o motociclo se ter deslocado

50, 2 m

Como não sabemos o tempo

t

e não nos é pedido para determinar o tempo, vamos usar a quarta equação do movimento para a direção horizontal

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x

, que não tem

t

v_{x}^{2} = v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x (Começa com a quarta equação do movimento.)

v_{x} = \pm \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x} (Resolve algebricamente em ordem à velocidade final.)

Nota que ao tomares a raiz quadrada, tens duas respostas possíveis: Positiva ou negativa. Como o motociclista irá continuar no mesmo sentido do movimento que começou, e assumimos que esse era o sentido positivo, vamos escolher a resposta positiva

v_{x} = + \sqrt{v_{0 x}^{2} + 2 a_{x} Δ x}

Agora podemos substituir os valores para obter

v_{x} = \sqrt{(23, 4 m/s)^{2} + 2 (- 3, 20 \frac{m}{s^{2}}) (50, 2 m)} (Substitui os valores conhecidos.)

v_{x} = 15, 0 m/s (Calcula e celebra!)

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Física

Assunto: Física > Tema 1

O que são as equações do movimento?

O que é um objeto em queda-livre (projétil)?

Como é que escolhes e usas uma equação do movimento?

Como é que derivas a primeira equação do movimento, v=v0+at‍ ?

Como é que derivas a segunda equação do movimento, Δx=(v+v02)t‍ ?

Como é que derivas a terceira equação do movimento, Δx=v0t+12at2‍ ?

Como é que derivas a quarta equação do movimento, v2=v02+2aΔx‍ ?

O que é que é confuso acerca das equações do movimento?

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem as equações do movimento?

Exemplo 1: Primeira equação do movimento, v=v0+at‍

Exemplo 2: Segunda equação do movimento, Δx=(v+v02)t‍

Exemplo 3: Terceira equação do movimento, Δx=v0t+12at2‍

Exemplo 4: Quarta equação do movimento, v2=v02+2aΔx‍

Queres participar na conversa?

Como é que derivas a primeira equação do movimento, $v = v_{0} + a t$ ‍ ?

Como é que derivas a segunda equação do movimento, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍?

Como é que derivas a terceira equação do movimento, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍?

Como é que derivas a quarta equação do movimento, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍?

Exemplo 1: Primeira equação do movimento, $v = v_{0} + a t$ ‍

Exemplo 2: Segunda equação do movimento, $Δ x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t$ ‍

Exemplo 3: Terceira equação do movimento, $Δ x = v_{0} t + \frac{1}{2} a t^{2}$ ‍

Exemplo 4: Quarta equação do movimento, $v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a Δ x$ ‍