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Física

Assunto: Física > Tema 1

Lição 2: Deslocamento, velocidade e tempo

O que são gráficos de posição versus tempo?

O que podemos aprender com os gráficos que relacionam posição e tempo.

Em que é que os gráficos da posição vs. tempo são úteis?

Muitas pessoas sentem-se em relação aos gráficos da mesma maneira que se sentem quando vão ao dentista: uma sensação vaga de ansiedade e um desejo forte para que a experiência termine o mais rápido possível. Mas os gráficos da posição podem ser muito bonitos, e são uma forma eficiente de representar visualmente uma quantidade vasta de informação acerca do movimento de um objeto.

O que é que o eixo vertical representa num gráfico da posição?

O eixo vertical representa a posição do objeto. Por exemplo, se leres o valor do gráfico abaixo num instante em particular vais ter a posição do objeto em metros.

Tenta deslizar o ponto horizontalmente no gráfico abaixo para escolheres diferentes instantes de tempo e vê como é que a posição muda.

Verificação: Qual é a posição do objeto no instante t, equals, 5 segundos de acordo com o gráfico acima?

[Mostra-me a resposta]

O que é que o declive representa num gráfico da posição?

O declive de um gráfico da posição representa a velocidade do objeto. Por isso, o valor do declive num instante em particular representa a velocidade do objeto nesse instante.

Para veres porquê, considera o declive do gráfico da posição vs. tempo mostrado abaixo:

[Espera, mas porque é que o eixo vertical se chama x?]

O declive deste gráfico da posição é: start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, start text, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, v, e, r, t, i, c, a, l, end text, divided by, start text, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, h, o, r, i, z, o, n, t, a, l, end text, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction.

Esta expressão para o declive é a mesma da definição de velocidade: v, equals, start fraction, delta, x, divided by, delta, t, end fraction, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction. Por isso, o declive de um gráfico da posição tem de ser igual à velocidade.

Isto também é verdade para um gráfico da posição onde o declive esteja a mudar. Por exemplo, no gráfico da posição vs. tempo representado abaixo, a linha reta mostra-te o declive num instante em particular. Tenta deslizar o ponto abaixo horizontalmente para veres qual é a forma do declive do gráfico para instantes de tempo específicos.

O declive da curva entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 3, start text, space, s, end text é positivo pois o declive está dirigido para cima. Isto significa que a velocidade é positiva e o objeto se está a deslocar no sentido positivo.

O declive da curva é negativo entre os instantes t, equals, 3, start text, space, s, end text e t, equals, 9, start text, space, s, end text, pois o declive está dirigido para baixo. Isto significa que a velocidade é negativa e o objeto se está a deslocar no sentido negativo.

No instante t, equals, 3, start text, space, s, end text, o declive é zero pois a reta que representa o declive é horizontal. Isto significa que a velocidade é zero e que o objeto está momentaneamente em repouso.

Verificação: Qual é a velocidade do objeto quando t, equals, 9, start text, space, s, end text de acordo com o gráfico acima?

[Mostra-me a resposta]

Mais uma coisa para ter em mente é que o declive de um gráfico da posição num dado instante de tempo dá-te a velocidade instantânea nesse instante de tempo. O declive médio entre dois pontos de tempo dá-te a velocidade média entre esses dois pontos no tempo. A velocidade instantânea não tem de ser igual à velocidade média. No entanto, se o declive for constante ao longo de um período de tempo, isto é, o gráfico é um segmento de reta, então a velocidade instantânea será igual à velocidade média entre quaisquer dois pontos nesse segmento de reta.

[Porque é que a velocidade instantânea é igual à velocidade média num segmento de linha reta.]

Qual é o significado da curvatura num gráfico da posição?

Se olhares para a figura abaixo, o gráfico parece curvo porque não é composto apenas por segmentos de linha reta. Se um gráfico da posição é curvo, o declive está sempre a mudar, o que significa que a velocidade também está sempre a mudar. A variação da velocidade implica uma aceleração. Por isso, a curvatura num gráfico significa que o objeto está a acelerar, mudar a velocidade/declive.

No gráfico abaixo, tenta deslizar o ponto horizontalmente para ver a variação do declive. O primeiro arco a azul, entre 1, start text, space, s, end text e 5, start text, space, s, end text, representa uma aceleração negativa porque o declive muda de positivo para negativo. No segundo arco azul, entre 7, start text, space, s, end text e 11, start text, space, s, end text, a aceleração é positiva porque o declive vai de negativo para positivo.

Verificação: Qual é a aceleração do objeto no instante t, equals, 6, start text, space, s, end text de acordo com o gráfico acima?

[Mostra-me a resposta]

Para resumir, se a curvatura do gráfico da posição se parecer com uma tigela voltada para baixo, a aceleração será negativa. Se a curvatura se parecer com uma tigela voltada para cima, a aceleração será positiva. Uma maneira de te lembrares disto é a seguinte: se a tua tigela estiver voltada para baixo, toda a tua comida vai cair e isso é negativo. Se a tua tigela estiver voltada para cima, toda a tua comida vai permanecer na tigela e isso é positivo.

[Isso significa que uma tigela voltada para baixo implica sempre abrandar?]

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem os gráficos da posição vs. tempo?

Exemplo 1: Morsa esfomeada

O movimento de uma morsa esfomeada a caminhar horizontalmente para trás e para a frente à procura de comida é dado pelo gráfico abaixo, que mostra a posição horizontal x como função do tempo t.

Qual é que foi a velocidade instantânea da morsa nos seguintes instantes: 2, start text, space, s, end text, 5, start text, space, s, end text, e 8, start text, space, s, end text?

Velocidade quando t, equals, 2, start text, space, s, end text:

Podemos encontrar a velocidade da morsa quando t, equals, 2, start text, space, s, end text encontrando o declive do gráfico quando t, equals, 2, start text, space, s, end text:

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, U, s, a, space, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, p, a, r, a, space, o, space, d, e, c, l, i, v, e, point, right parenthesis, end text

Vamos agora escolher dois pontos fáceis de localizar ao longo do segmento de reta considerado. Tomemos por exemplo os pontos left parenthesis, 0, start text, space, s, end text, comma, 1, start text, space, m, end text, right parenthesis e left parenthesis, 4, start text, space, s, end text, comma, 3, start text, space, m, end text, right parenthesis, mas podemos escolher quaisquer dois pontos entre 0, start text, space, s, end text e 4, start text, space, s, end text. Vamos marcar o primeiro ponto no tempo como sendo o ponto 1, e o segundo ponto no tempo como sendo o ponto 2.

\text{declive}=\dfrac{3\text{ m}-1\text{ m}}{4\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(Escolhe dois pontos e substitui os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)}

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, 3, start text, space, m, end text, minus, 1, start text, space, m, end text, divided by, 4, start text, space, s, end text, minus, 0, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, E, s, c, o, l, h, e, space, d, o, i, s, space, p, o, n, t, o, s, space, e, space, s, u, b, s, t, i, t, u, i, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, d, e, space, x, space, n, o, space, n, u, m, e, r, a, d, o, r, space, e, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, d, e, space, t, space, n, o, space, d, e, n, o, m, i, n, a, d, o, r, point, right parenthesis, end text

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, 2, start text, space, m, end text, divided by, 4, start text, space, s, end text, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, e, space, c, e, l, e, b, r, a, point, right parenthesis, end text

Por isso, a velocidade da morsa quando t, equals, 2, start text, space, s, end text foi 0, comma, 5, start text, space, m, slash, s, end text.

Velocidade quando t, equals, 5, start text, space, s, end text:

Para encontrar a velocidade no instante t, equals, 5, start text, space, s, end text, basta notar que o gráfico é horizontal nesse ponto. Como o gráfico é horizontal, o declive é igual a zero, o que significa que a velocidade da morsa no instante t, equals, 5, start text, space, s, end text foi 0, start text, space, m, slash, s, end text.*

Velocidade no instante t, equals, 8, start text, space, s, end text:

Vamos escolher os pontos no inicio e no fim do segmento, que são left parenthesis, 6, start text, space, s, end text, comma, 3, start text, space, m, end text, right parenthesis e left parenthesis, 9, start text, space, s, end text, comma, 0, start text, space, m, end text, right parenthesis.

\text{declive}=\dfrac{0\text{ m}-3\text{ m}}{9\text{ s}-6\text{ s}}\qquad \text{(Escolhe dois pontos e substitui os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)}

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, 0, start text, space, m, end text, minus, 3, start text, space, m, end text, divided by, 9, start text, space, s, end text, minus, 6, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, E, s, c, o, l, h, e, space, d, o, i, s, space, p, o, n, t, o, s, space, e, space, s, u, b, s, t, i, t, u, i, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, d, e, space, x, space, n, o, space, n, u, m, e, r, a, d, o, r, space, e, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, d, e, space, t, space, n, o, space, d, e, n, o, m, i, n, a, d, o, r, point, right parenthesis, end text

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, minus, 3, start text, space, m, end text, divided by, 3, start text, space, s, end text, end fraction, equals, minus, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, e, space, c, e, l, e, b, r, a, point, right parenthesis, end text

Por isso, a velocidade da morsa no instante 8, start text, space, s, end text foi minus, 1, start text, space, m, slash, s, end text.

Exemplo 2: Pássaro feliz

O movimento de um pássaro extraordinariamente alegre que voa para cima e para baixo é dado pelo gráfico abaixo, que mostra a posição vertical y como função do tempo t. Responde às seguintes questões acerca do movimento do pássaro.

Qual é que foi a velocidade média do pássaro entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text?
Qual é que foi a rapidez média do pássaro entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text?

Velocidade média do pássaro entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text:

Para encontrar a velocidade média entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text, podemos encontrar o declive médio entre t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text. Visualmente, isto corresponderia a encontrar o declive da linha que liga o ponto inicial e o ponto final do gráfico.

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, start text, left parenthesis, U, s, a, space, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, p, a, r, a, space, o, space, d, e, c, l, i, v, e, point, right parenthesis, end text

O ponto inicial seria left parenthesis, 0, start text, space, s, end text, comma, 7, start text, space, m, end text, right parenthesis, e o ponto final seria left parenthesis, 10, start text, space, s, end text, comma, 6, start text, space, m, end text, right parenthesis.

\text{declive}=\dfrac{6\text{ m}-7\text{ m}}{10\text{ s}-0\text{ s}}\qquad \text{(Escolher os pontos inicial e final do intervalo de tempo, e substituir os valores.)}

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, 6, start text, space, m, end text, minus, 7, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, minus, 0, start text, space, s, end text, end fraction, start text, left parenthesis, E, s, c, o, l, h, e, r, space, o, s, space, p, o, n, t, o, s, space, i, n, i, c, i, a, l, space, e, space, f, i, n, a, l, space, d, o, space, i, n, t, e, r, v, a, l, o, space, d, e, space, t, e, m, p, o, comma, space, e, space, s, u, b, s, t, i, t, u, i, r, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, point, right parenthesis, end text

start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, minus, 1, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, end fraction, equals, minus, 0, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, e, space, c, e, l, e, b, r, a, point, right parenthesis, end text

Por isso, a velocidade média do pássaro entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text foi minus, 0, comma, 1, start text, space, m, slash, s, end text.

[Não podíamos ter calculado apenas o deslocamento por unidade de tempo? ]

Rapidez média do pássaro entre t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text:

A definição de rapidez média é a distância percorrida a dividir pelo tempo. Por isso, para encontrar a distância percorrida, precisamos de somar os comprimentos dos caminhos de cada parte do trajeto. Entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 2, comma, 5, start text, space, s, end text, o pássaro deslocou-se 5, start text, space, m, end text para baixo. Entre os instantes t, equals, 2, comma, 5, start text, space, s, end text e t, equals, 5, start text, space, s, end text, o pássaro não se moveu. E, finalmente, entre os instantes t, equals, 5, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text, o pássaro voou 4, start text, space, m, end text para cima. Somando os comprimentos de todos os caminhos dá-nos uma distância percorrida total de 9, start text, space, m, end text.

Agora podemos dividir pelo intervalo de tempo para obter a rapidez média r, start subscript, m, e, with, acute, on top, d, i, a, end subscript:

r, start subscript, m, e, with, acute, on top, d, i, a, end subscript, equals, start fraction, start text, d, i, s, t, a, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, divided by, delta, t, end fraction, start text, left parenthesis, U, s, a, space, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, p, a, r, a, space, a, space, r, a, p, i, d, e, z, space, m, e, with, \', on top, d, i, a, point, right parenthesis, end text

r, start subscript, m, e, with, acute, on top, d, i, a, end subscript, equals, start fraction, 9, start text, space, m, end text, divided by, 10, start text, space, s, end text, end fraction, equals, 0, comma, 9, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, comma, space, d, e, p, o, i, s, space, c, a, l, c, u, l, a, space, e, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, end text

Por isso, a rapidez média do pássaro entre t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text foi 0, comma, 9, start text, space, m, slash, s, end text.*

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Física

Assunto: Física > Tema 1

Em que é que os gráficos da posição vs. tempo são úteis?

O que é que o eixo vertical representa num gráfico da posição?

O que é que o declive representa num gráfico da posição?

Qual é o significado da curvatura num gráfico da posição?

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem os gráficos da posição vs. tempo?

Exemplo 1: Morsa esfomeada

Velocidade quando t=2 st = 2\text{ s}t=2 st, equals, 2, start text, space, s, end text:

Velocidade quando t=5 st = 5\text{ s}t=5 st, equals, 5, start text, space, s, end text:

Velocidade no instante t=8 st = 8\text{ s}t=8 st, equals, 8, start text, space, s, end text:

Exemplo 2: Pássaro feliz

Velocidade média do pássaro entre os instantes t=0 st=0\text{ s}t=0 st, equals, 0, start text, space, s, end text e t=10 st=10\text{ s}t=10 st, equals, 10, start text, space, s, end text:

Rapidez média do pássaro entre t=0 st=0\text{ s}t=0 st, equals, 0, start text, space, s, end text e t=10 st=10\text{ s}t=10 st, equals, 10, start text, space, s, end text:

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Velocidade quando t, equals, 2, start text, space, s, end text:

Velocidade quando t, equals, 5, start text, space, s, end text:

Velocidade no instante t, equals, 8, start text, space, s, end text:

Velocidade média do pássaro entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text:

Rapidez média do pássaro entre t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 10, start text, space, s, end text: