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Assunto: Física > Tema 1

Lição 2: Deslocamento, velocidade e tempo

O que são gráficos de posição versus tempo?

O que podemos aprender com os gráficos que relacionam posição e tempo.

Em que é que os gráficos da posição vs. tempo são úteis?

Muitas pessoas sentem-se em relação aos gráficos da mesma maneira que se sentem quando vão ao dentista: uma sensação vaga de ansiedade e um desejo forte para que a experiência termine o mais rápido possível. Mas os gráficos da posição podem ser muito bonitos, e são uma forma eficiente de representar visualmente uma quantidade vasta de informação acerca do movimento de um objeto.

O que é que o eixo vertical representa num gráfico da posição?

O eixo vertical representa a posição do objeto. Por exemplo, se leres o valor do gráfico abaixo num instante em particular vais ter a posição do objeto em metros.

Tenta deslizar o ponto horizontalmente no gráfico abaixo para escolheres diferentes instantes de tempo e vê como é que a posição muda.

Verificação: Qual é a posição do objeto no instante $t = 5$ ‍ segundos de acordo com o gráfico acima?

O que é que o declive representa num gráfico da posição?

O declive de um gráfico da posição representa a velocidade do objeto. Por isso, o valor do declive num instante em particular representa a velocidade do objeto nesse instante.

Para veres porquê, considera o declive do gráfico da posição vs. tempo mostrado abaixo:

Na disciplina de Matemática normalmente o eixo vertical, a variável dependente, é chamado

y

, e o eixo horizontal, a variável independente, é chamada

x

No entanto, na disciplina de Física colocamos quase sempre o tempo

t

no eixo horizontal como a variável independente. Isto significa que qualquer outra variável tem de ficar no eixo vertical, incluindo

x

, que normalmente representa a posição horizontal.

Isto é um bocado confuso, ver como é que o deslocamento horizontal

x

poderia ser colocado num eixo vertical. Mas esta é a convenção que quase todos os livros, cursos e professores de Física usam. Também faz sentido porque o tempo é visto como uma variável independente pois não controlamos a passagem do tempo ... a não ser que sejas o lorde do tempo e que consigas viajar no tempo, nesse caso provavelmente já possuis uma compreensão do espaço e do tempo que fazem com que as nossas teorias te pareçam ingénuas e estranhas.

O declive deste gráfico da posição é:

declive = \frac{variação vertical}{variação horizontal} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

Esta expressão para o declive é a mesma da definição de velocidade:

v = \frac{Δ x}{Δ t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}

. Por isso, o declive de um gráfico da posição tem de ser igual à velocidade.

Isto também é verdade para um gráfico da posição onde o declive esteja a mudar. Por exemplo, no gráfico da posição vs. tempo representado abaixo, a linha reta mostra-te o declive num instante em particular. Tenta deslizar o ponto abaixo horizontalmente para veres qual é a forma do declive do gráfico para instantes de tempo específicos.

O declive da curva entre os instantes

t = 0 s

t = 3 s

é positivo pois o declive está dirigido para cima. Isto significa que a velocidade é positiva e o objeto se está a deslocar no sentido positivo.

O declive da curva é negativo entre os instantes

t = 3 s

t = 9 s

, pois o declive está dirigido para baixo. Isto significa que a velocidade é negativa e o objeto se está a deslocar no sentido negativo.

No instante

t = 3 s

, o declive é zero pois a reta que representa o declive é horizontal. Isto significa que a velocidade é zero e que o objeto está momentaneamente em repouso.

Verificação: Qual é a velocidade do objeto quando $t = 9 s$ ‍ de acordo com o gráfico acima?

Mais uma coisa para ter em mente é que o declive de um gráfico da posição num dado instante de tempo dá-te a velocidade instantânea nesse instante de tempo. O declive médio entre dois pontos de tempo dá-te a velocidade média entre esses dois pontos no tempo. A velocidade instantânea não tem de ser igual à velocidade média. No entanto, se o declive for constante ao longo de um período de tempo, isto é, o gráfico é um segmento de reta, então a velocidade instantânea será igual à velocidade média entre quaisquer dois pontos nesse segmento de reta.

Qual é o significado da curvatura num gráfico da posição?

Se olhares para a figura abaixo, o gráfico parece curvo porque não é composto apenas por segmentos de linha reta. Se um gráfico da posição é curvo, o declive está sempre a mudar, o que significa que a velocidade também está sempre a mudar. A variação da velocidade implica uma aceleração. Por isso, a curvatura num gráfico significa que o objeto está a acelerar, mudar a velocidade/declive.

No gráfico abaixo, tenta deslizar o ponto horizontalmente para ver a variação do declive. O primeiro arco a azul, entre

1 s

5 s

, representa uma aceleração negativa porque o declive muda de positivo para negativo. No segundo arco azul, entre

7 s

11 s

, a aceleração é positiva porque o declive vai de negativo para positivo.

Verificação: Qual é a aceleração do objeto no instante $t = 6 s$ ‍ de acordo com o gráfico acima?

Para resumir, se a curvatura do gráfico da posição se parecer com uma tigela voltada para baixo, a aceleração será negativa. Se a curvatura se parecer com uma tigela voltada para cima, a aceleração será positiva. Uma maneira de te lembrares disto é a seguinte: se a tua tigela estiver voltada para baixo, toda a tua comida vai cair e isso é negativo. Se a tua tigela estiver voltada para cima, toda a tua comida vai permanecer na tigela e isso é positivo.

Não, infelizmente. A curvatura de uma tigela voltada para baixo significa que a aceleração tem de ser negativa, mas isso não significa necessariamente que o objeto esteja a abrandar.

Para o primeiro arco no gráfico acima, a velocidade começa positiva no instante

t = 1 s

, e o declive torna-se zero para

t = 3 s

. Isto significa que o objeto estava a abrandar entre os instantes

t = 1 s

t = 3 s

. Continuando a analisar o primeiro arco, o declive é zero quando

t = 3 s

e torna-se negativo quando

t = 5 s

. Isto significa que o objeto estava a acelerar pois foi de uma velocidade nula para uma velocidade negativa.

Ambos os lados da tigela voltada para cima representam uma aceleração negativa, mas o lado esquerdo representa uma redução da velocidade, e o lado direito representa um aumento da velocidade.

Outra forma de pensar acerca de tudo isto é que sempre que o gráfico se está a tornar menos íngreme, o objeto está a abrandar. Sempre que o gráfico se está a tornar mais íngreme, o objeto está a acelerar.

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem os gráficos da posição vs. tempo?

Exemplo 1: Morsa esfomeada

O movimento de uma morsa esfomeada a caminhar horizontalmente para trás e para a frente à procura de comida é dado pelo gráfico abaixo, que mostra a posição horizontal

x

como função do tempo

t

Qual é que foi a velocidade instantânea da morsa nos seguintes instantes: $2 s$ ‍, $5 s$ ‍, e $8 s$ ‍?

Velocidade quando $t = 2 s$ ‍:

Podemos encontrar a velocidade da morsa quando

t = 2 s

encontrando o declive do gráfico quando

t = 2 s

declive = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (Usa a fórmula para o declive.)

Vamos agora escolher dois pontos fáceis de localizar ao longo do segmento de reta considerado. Tomemos por exemplo os pontos

(0 s, 1 m)

(4 s, 3 m)

, mas podemos escolher quaisquer dois pontos entre

0 s

4 s

. Vamos marcar o primeiro ponto no tempo como sendo o ponto 1, e o segundo ponto no tempo como sendo o ponto 2.

declive = \frac{3 m - 1 m}{4 s - 0 s} (Escolhe dois pontos e substitui os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)

declive = \frac{2 m}{4 s} = \frac{1}{2} m/s (Calcula e celebra.)

Por isso, a velocidade da morsa quando $t = 2 s$ ‍ foi $0, 5 m/s$ ‍.

Velocidade quando $t = 5 s$ ‍:

Para encontrar a velocidade no instante

t = 5 s

, basta notar que o gráfico é horizontal nesse ponto. Como o gráfico é horizontal, o declive é igual a zero, o que significa que a velocidade da morsa no instante $t = 5 s$ ‍ foi

0 m/s

Velocidade no instante $t = 8 s$ ‍:

declive = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} (Usa a fórmula para o declive.)

Vamos escolher os pontos no inicio e no fim do segmento, que são

(6 s, 3 m)

(9 s, 0 m)

declive = \frac{0 m - 3 m}{9 s - 6 s} (Escolhe dois pontos e substitui os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)

declive = \frac{- 3 m}{3 s} = - 1 m/s (Calcula e celebra.)

Por isso, a velocidade da morsa no instante $8 s$ ‍ foi $- 1 m/s$ ‍.

Exemplo 2: Pássaro feliz

O movimento de um pássaro extraordinariamente alegre que voa para cima e para baixo é dado pelo gráfico abaixo, que mostra a posição vertical

y

como função do tempo

t

. Responde às seguintes questões acerca do movimento do pássaro.

Qual é que foi a velocidade média do pássaro entre os instantes $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍?
Qual é que foi a rapidez média do pássaro entre os instantes $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍?

Velocidade média do pássaro entre os instantes $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍:

Para encontrar a velocidade média entre os instantes

t = 0 s

t = 10 s

, podemos encontrar o declive médio entre

t = 0 s

t = 10 s

. Visualmente, isto corresponderia a encontrar o declive da linha que liga o ponto inicial e o ponto final do gráfico.

declive = \frac{y_{2} - y_{1}}{t_{2} - t_{1}} (Usa a fórmula para o declive.)

O ponto inicial seria

(0 s, 7 m)

, e o ponto final seria

(10 s, 6 m)

declive = \frac{6 m - 7 m}{10 s - 0 s} (Escolher os pontos inicial e final do intervalo de tempo, e substituir os valores.)

declive = \frac{- 1 m}{10 s} = - 0, 1 m/s (Calcula e celebra.)

Por isso, a velocidade média do pássaro entre os instantes $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍ foi $- 0, 1 m/s$ ‍.

Sim, foi exatamente isso que fizemos ao encontrarmos o declive médio. Como a definição de velocidade média é o deslocamento a dividir pelo tempo, podíamos ter encontrado o deslocamento primeiro:

Δ y = y_{2} - y_{1} = 6 m - 7 m = - 1 m (Substitui a altura final e a altura inicial.)

E depois, podíamos ter dividido pelo tempo para obtermos a velocidade média:

v_{m é d i a} = \frac{Δ y}{Δ t} = \frac{- 1 m}{10 s}

v_{m é d i a} = 9 m

Obtemos o mesmo valor para a velocidade média das duas maneiras.

Rapidez média do pássaro entre $t = 0 s$ ‍ e $t = 10 s$ ‍:

A definição de rapidez média é a distância percorrida a dividir pelo tempo. Por isso, para encontrar a distância percorrida, precisamos de somar os comprimentos dos caminhos de cada parte do trajeto. Entre os instantes

t = 0 s

t = 2, 5 s

, o pássaro deslocou-se

5 m

para baixo. Entre os instantes

t = 2, 5 s

t = 5 s

, o pássaro não se moveu. E, finalmente, entre os instantes

t = 5 s

t = 10 s

, o pássaro voou

4 m

para cima. Somando os comprimentos de todos os caminhos dá-nos uma distância percorrida total de

9 m

Agora podemos dividir pelo intervalo de tempo para obter a rapidez média

r_{m é d i a}

r_{m é d i a} = \frac{distância}{Δ t} (Usa a fórmula para a rapidez média.)

r_{m é d i a} = \frac{9 m}{10 s} = 0, 9 m/s (Substitui os valores, depois calcula e celebra!)

Por isso, a rapidez média do pássaro entre

t = 0 s

t = 10 s

foi

0, 9 m/s

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