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O que são gráficos de posição versus tempo?

O que podemos aprender com os gráficos que relacionam posição e tempo.

Em que é que os gráficos da posição vs. tempo são úteis?

Muitas pessoas sentem-se em relação aos gráficos da mesma maneira que se sentem quando vão ao dentista: uma sensação vaga de ansiedade e um desejo forte para que a experiência termine o mais rápido possível. Mas os gráficos da posição podem ser muito bonitos, e são uma forma eficiente de representar visualmente uma quantidade vasta de informação acerca do movimento de um objeto.

O que é que o eixo vertical representa num gráfico da posição?

O eixo vertical representa a posição do objeto. Por exemplo, se leres o valor do gráfico abaixo num instante em particular vais ter a posição do objeto em metros.
Tenta deslizar o ponto horizontalmente no gráfico abaixo para escolheres diferentes instantes de tempo e vê como é que a posição muda.
Verificação: Qual é a posição do objeto no instante t=5 segundos de acordo com o gráfico acima?

O que é que o declive representa num gráfico da posição?

O declive de um gráfico da posição representa a velocidade do objeto. Por isso, o valor do declive num instante em particular representa a velocidade do objeto nesse instante.
Para veres porquê, considera o declive do gráfico da posição vs. tempo mostrado abaixo:
O declive deste gráfico da posição é: declive=variação verticalvariação horizontal=x2x1t2t1.
Esta expressão para o declive é a mesma da definição de velocidade: v=ΔxΔt=x2x1t2t1. Por isso, o declive de um gráfico da posição tem de ser igual à velocidade.
Isto também é verdade para um gráfico da posição onde o declive esteja a mudar. Por exemplo, no gráfico da posição vs. tempo representado abaixo, a linha reta mostra-te o declive num instante em particular. Tenta deslizar o ponto abaixo horizontalmente para veres qual é a forma do declive do gráfico para instantes de tempo específicos.
O declive da curva entre os instantes t=0 s e t=3 s é positivo pois o declive está dirigido para cima. Isto significa que a velocidade é positiva e o objeto se está a deslocar no sentido positivo.
O declive da curva é negativo entre os instantes t=3 s e t=9 s, pois o declive está dirigido para baixo. Isto significa que a velocidade é negativa e o objeto se está a deslocar no sentido negativo.
No instante t=3 s, o declive é zero pois a reta que representa o declive é horizontal. Isto significa que a velocidade é zero e que o objeto está momentaneamente em repouso.
Verificação: Qual é a velocidade do objeto quando t=9 s de acordo com o gráfico acima?
Mais uma coisa para ter em mente é que o declive de um gráfico da posição num dado instante de tempo dá-te a velocidade instantânea nesse instante de tempo. O declive médio entre dois pontos de tempo dá-te a velocidade média entre esses dois pontos no tempo. A velocidade instantânea não tem de ser igual à velocidade média. No entanto, se o declive for constante ao longo de um período de tempo, isto é, o gráfico é um segmento de reta, então a velocidade instantânea será igual à velocidade média entre quaisquer dois pontos nesse segmento de reta.

Qual é o significado da curvatura num gráfico da posição?

Se olhares para a figura abaixo, o gráfico parece curvo porque não é composto apenas por segmentos de linha reta. Se um gráfico da posição é curvo, o declive está sempre a mudar, o que significa que a velocidade também está sempre a mudar. A variação da velocidade implica uma aceleração. Por isso, a curvatura num gráfico significa que o objeto está a acelerar, mudar a velocidade/declive.
No gráfico abaixo, tenta deslizar o ponto horizontalmente para ver a variação do declive. O primeiro arco a azul, entre 1 s e 5 s, representa uma aceleração negativa porque o declive muda de positivo para negativo. No segundo arco azul, entre 7 s e 11 s, a aceleração é positiva porque o declive vai de negativo para positivo.
Verificação: Qual é a aceleração do objeto no instante t=6 s de acordo com o gráfico acima?
Para resumir, se a curvatura do gráfico da posição se parecer com uma tigela voltada para baixo, a aceleração será negativa. Se a curvatura se parecer com uma tigela voltada para cima, a aceleração será positiva. Uma maneira de te lembrares disto é a seguinte: se a tua tigela estiver voltada para baixo, toda a tua comida vai cair e isso é negativo. Se a tua tigela estiver voltada para cima, toda a tua comida vai permanecer na tigela e isso é positivo.

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem os gráficos da posição vs. tempo?

Exemplo 1: Morsa esfomeada

O movimento de uma morsa esfomeada a caminhar horizontalmente para trás e para a frente à procura de comida é dado pelo gráfico abaixo, que mostra a posição horizontal x como função do tempo t.
Qual é que foi a velocidade instantânea da morsa nos seguintes instantes: 2 s, 5 s, e 8 s?

Velocidade quando t=2 s:

Podemos encontrar a velocidade da morsa quando t=2 s encontrando o declive do gráfico quando t=2 s:
declive=x2x1t2t1(Usa a fórmula para o declive.)
Vamos agora escolher dois pontos fáceis de localizar ao longo do segmento de reta considerado. Tomemos por exemplo os pontos (0 s,1 m) e (4 s,3 m), mas podemos escolher quaisquer dois pontos entre 0 s e 4 s. Vamos marcar o primeiro ponto no tempo como sendo o ponto 1, e o segundo ponto no tempo como sendo o ponto 2.
declive=3 m1 m4 s0 s(Escolhe dois pontos e substitui os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)
declive=2 m4 s=12 m/s(Calcula e celebra.)
Por isso, a velocidade da morsa quando t=2 s foi 0,5 m/s.

Velocidade quando t=5 s:

Para encontrar a velocidade no instante t=5 s, basta notar que o gráfico é horizontal nesse ponto. Como o gráfico é horizontal, o declive é igual a zero, o que significa que a velocidade da morsa no instante t=5 s foi 0 m/s.*

Velocidade no instante t=8 s:

declive=x2x1t2t1(Usa a fórmula para o declive.)
Vamos escolher os pontos no inicio e no fim do segmento, que são (6 s,3 m) e (9 s,0 m).
declive=0 m3 m9 s6 s(Escolhe dois pontos e substitui os valores de x no numerador e os valores de t no denominador.)
declive=3 m3 s=1 m/s(Calcula e celebra.)
Por isso, a velocidade da morsa no instante 8 s foi 1 m/s.

Exemplo 2: Pássaro feliz

O movimento de um pássaro extraordinariamente alegre que voa para cima e para baixo é dado pelo gráfico abaixo, que mostra a posição vertical y como função do tempo t. Responde às seguintes questões acerca do movimento do pássaro.
Qual é que foi a velocidade média do pássaro entre os instantes t=0 s e t=10 s?
Qual é que foi a rapidez média do pássaro entre os instantes t=0 s e t=10 s?

Velocidade média do pássaro entre os instantes t=0 s e t=10 s:

Para encontrar a velocidade média entre os instantes t=0 s e t=10 s, podemos encontrar o declive médio entre t=0 s e t=10 s. Visualmente, isto corresponderia a encontrar o declive da linha que liga o ponto inicial e o ponto final do gráfico.
declive=y2y1t2t1(Usa a fórmula para o declive.)
O ponto inicial seria (0 s,7 m), e o ponto final seria (10 s,6 m).
declive=6 m7 m10 s0 s(Escolher os pontos inicial e final do intervalo de tempo, e substituir os valores.)
declive=1 m10 s=0,1 m/s(Calcula e celebra.)
Por isso, a velocidade média do pássaro entre os instantes t=0 s e t=10 s foi 0,1 m/s.

Rapidez média do pássaro entre t=0 s e t=10 s:

A definição de rapidez média é a distância percorrida a dividir pelo tempo. Por isso, para encontrar a distância percorrida, precisamos de somar os comprimentos dos caminhos de cada parte do trajeto. Entre os instantes t=0 s e t=2,5 s, o pássaro deslocou-se 5 m para baixo. Entre os instantes t=2,5 s e t=5 s, o pássaro não se moveu. E, finalmente, entre os instantes t=5 s e t=10 s, o pássaro voou 4 m para cima. Somando os comprimentos de todos os caminhos dá-nos uma distância percorrida total de 9 m.
Agora podemos dividir pelo intervalo de tempo para obter a rapidez média rmédia:
rmédia=distânciaΔt(Usa a fórmula para a rapidez média.)
rmédia=9 m10 s=0,9 m/s(Substitui os valores, depois calcula e celebra!)
Por isso, a rapidez média do pássaro entre t=0 s e t=10 s foi 0,9 m/s.*

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