O que são gráficos de aceleração versus tempo?

O eixo vertical representa a aceleração do objeto.

Por exemplo, se leres o valor do gráfico abaixo num instante em particular, vais ter a aceleração do objeto nesse momento em metros por segundo quadrados.

Tenta deslizar o ponto horizontalmente no gráfico abaixo para escolher diferentes instantes de tempo, e vê como é que a aceleração—Abreviada como Acc—muda.
$$

Verificação de conceitos: De acordo com o gráfico acima, qual é aceleração no instante $t=4\text{ s}$t, equals, 4, start text, space, s, end text?

O declive de um gráfico da aceleração representa uma quantidade a que se chama de arranque. O arranque é a taxa de variação da aceleração.

Para um gráfico da aceleração, o declive pode ser encontrado através de $\text{declive}=\dfrac{\text{variação no eixo vertical}}{\text{variação no eixo horizontal}}=\dfrac{a_2-a_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\Delta a}{\Delta t}$start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, start text, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, n, o, space, e, i, x, o, space, v, e, r, t, i, c, a, l, end text, divided by, start text, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, n, o, space, e, i, x, o, space, h, o, r, i, z, o, n, t, a, l, end text, end fraction, equals, start fraction, a, start subscript, 2, end subscript, minus, a, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, delta, a, divided by, delta, t, end fraction

Este declive, que representa a taxa de variação da aceleração, é definido como sendo o arranque.

Se estivesses numa viagem onde a aceleração estivesse a aumentar e a diminuir significativamente ao longo de pequenos períodos de tempo, o movimento ira parecer-te de arranque, e terias de obrigar os teus músculos a aplicar diferentes quantidades de força para seres capaz de estabilizar o teu corpo.

Para terminar esta secção, vamos visualizar o arranque com o gráfico exemplo mostrado abaixo. Tenta mover o ponto horizontalmente para veres como é que o declive—isto é, o arranque—se parece em diferentes instantes de tempo.

$$

Verificação de conceitos: Para o gráfico da aceleração mostrado acima, o arranque é positivo, negativo, ou zero no instante $t=6\text{ s}$t, equals, 6, start text, space, s, end text?

A área debaixo de um gráfico da aceleração representa a variação da velocidade. Por outras palavras, a área debaixo do gráfico da aceleração para um determinado intervalo de tempo é igual à variação da velocidade durante esse intervalo de tempo.

Pode ser mais fácil veres porque é que isto acontece considerando o gráfico abaixo, que mostra uma aceleração constante de 4$~\dfrac{\text m}{\text s^2}$space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction para um intervalo de tempo de 9 s.

Se multiplicarmos ambos os membros da definição de aceleração, $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction, pelo intervalo de tempo, $\Delta t$delta, t, obtemos $\Delta v=a\Delta t$delta, v, equals, a, delta, t.

Substituindo a aceleração por 4$~\dfrac{\text m}{\text s^2}$space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction e o intervalo de tempo por 9 s podemos encontrar a variação da velocidade:

Multiplicar a aceleração pelo intervalo de tempo é equivalente a encontrar a área debaixo da curva. A área debaixo da curva é um retângulo, tal como se pode ver no diagrama abaixo.

A área pode ser encontrada multiplicando a altura pela largura. A altura deste retângulo é 4$~\dfrac{\text m}{\text s^2}$space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, e a largura é 9 s. Por isso, encontrar a área também te dá a variação da velocidade.

A área debaixo de qualquer gráfico da aceleração para um determinado intervalo de tempo dá a variação da velocidade nesse intervalo de tempo.

Uma condutora confiante está a deslocar-se com uma velocidade constante de 20 m/s. À medida que se aproxima da linha final, a condutora começa acelerar. O gráfico abaixo mostra a aceleração do carro à medida que começa a acelerar. Assume que o carro tinha uma velocidade de 20 m/s no instante $t=0\text{ s}$t, equals, 0, start text, space, s, end text.

Para encontrar a variação da velocidade, basta encontrar a área debaixo do gráfico da aceleração:

Mas isto é apenas a variação da velocidade durante o intervalo de 8 segundos. Precisamos de encontrar a velocidade final. Para isso, podemos usar a definição da variação da velocidade, $\Delta v=v_f-v_i$delta, v, equals, v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript:

A velocidade final do carro de corrida foi 44 m/s.

Um barco à vela está a deslocar-se ao longo de uma linha reta com uma velocidade de 10 m/s. No instante $t=0\text{ s}$t, equals, 0, start text, space, s, end text, uma rajada de vento faz com que o barco acelere, tal como se pode ver no gráfico abaixo.

Qual é a velocidade do barco à vela após o vento ter soprado durante 9 segundos?

A área debaixo do gráfico dá a variação da velocidade. A área do gráfico pode ser dividida num retângulo, e dois triângulos, tal como se pode ver no gráfico abaixo.

O retângulo azul entre os instantes $t=0\text{ s}$t, equals, 0, start text, space, s, end text e $t=3\text{ s}$t, equals, 3, start text, space, s, end text é considerado uma área positiva porque está acima do eixo horizontal. O triângulo azul entre os instantes $t=3\text{ s}$t, equals, 3, start text, space, s, end text e $t=7\text{ s}$t, equals, 7, start text, space, s, end text também é considerado uma área positiva pois está acima do eixo horizontal. No entanto, o triângulo vermelho entre os instantes $t=7\text{ s}$t, equals, 7, start text, space, s, end text e $t=9\text{ s}$t, equals, 9, start text, space, s, end text, é considerado uma área negativa pois está abaixo do eixo horizontal.

Vamos somar estas áreas—usando $hw$h, w para o retângulo e $\dfrac{1}{2}bh$start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h para os triângulos—para obter a área total entre os instantes $t=0\text{ s}$t, equals, 0, start text, space, s, end text e $t=9\text{ s}$t, equals, 9, start text, space, s, end text.

Mas esta é a variação da velocidade, por isso para encontrar a velocidade final, vamos usar a definição da variação da velocidade.

A velocidade final do barco à vela foi $v_f=28\text{ m/s}$v, start subscript, f, end subscript, equals, 28, start text, space, m, slash, s, end text.