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Conteúdo principal

O que são gráficos de aceleração versus tempo?

O que podemos aprender com os gráficos que relacionam aceleração e tempo.

O que representa o eixo vertical no gráfico da aceleração?

O eixo vertical representa a aceleração do objeto.
Por exemplo, se leres o valor do gráfico abaixo num instante em particular, vais ter a aceleração do objeto nesse momento em metros por segundo quadrados.
Tenta deslizar o ponto horizontalmente no gráfico abaixo para escolher diferentes instantes de tempo, e vê como é que a aceleração—Abreviada como Acc—muda.
Verificação de conceitos: De acordo com o gráfico acima, qual é aceleração no instante t, equals, 4, start text, space, s, end text?

O que representa o declive de um gráfico da aceleração?

O declive de um gráfico da aceleração representa uma quantidade a que se chama de arranque. O arranque é a taxa de variação da aceleração.
Para um gráfico da aceleração, o declive pode ser encontrado através de start text, d, e, c, l, i, v, e, end text, equals, start fraction, start text, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, n, o, space, e, i, x, o, space, v, e, r, t, i, c, a, l, end text, divided by, start text, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, n, o, space, e, i, x, o, space, h, o, r, i, z, o, n, t, a, l, end text, end fraction, equals, start fraction, a, start subscript, 2, end subscript, minus, a, start subscript, 1, end subscript, divided by, t, start subscript, 2, end subscript, minus, t, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, delta, a, divided by, delta, t, end fraction
Este declive, que representa a taxa de variação da aceleração, é definido como sendo o arranque.
start text, a, r, r, a, n, q, u, e, end text, equals, start fraction, delta, a, divided by, delta, t, end fraction
Se estivesses numa viagem onde a aceleração estivesse a aumentar e a diminuir significativamente ao longo de pequenos períodos de tempo, o movimento ira parecer-te de arranque, e terias de obrigar os teus músculos a aplicar diferentes quantidades de força para seres capaz de estabilizar o teu corpo.
Para terminar esta secção, vamos visualizar o arranque com o gráfico exemplo mostrado abaixo. Tenta mover o ponto horizontalmente para veres como é que o declive—isto é, o arranque—se parece em diferentes instantes de tempo.
Verificação de conceitos: Para o gráfico da aceleração mostrado acima, o arranque é positivo, negativo, ou zero no instante t, equals, 6, start text, space, s, end text?

O que representa a área de um gráfico da aceleração?

A área debaixo de um gráfico da aceleração representa a variação da velocidade. Por outras palavras, a área debaixo do gráfico da aceleração para um determinado intervalo de tempo é igual à variação da velocidade durante esse intervalo de tempo.
start text, a, with, \', on top, r, e, a, end text, equals, delta, v
Pode ser mais fácil veres porque é que isto acontece considerando o gráfico abaixo, que mostra uma aceleração constante de 4space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction para um intervalo de tempo de 9 s.
Se multiplicarmos ambos os membros da definição de aceleração, a, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction, pelo intervalo de tempo, delta, t, obtemos delta, v, equals, a, delta, t.
Substituindo a aceleração por 4space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction e o intervalo de tempo por 9 s podemos encontrar a variação da velocidade:
delta, v, equals, a, delta, t, equals, left parenthesis, 4, space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 9, start text, space, s, end text, right parenthesis, equals, 36, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction
Multiplicar a aceleração pelo intervalo de tempo é equivalente a encontrar a área debaixo da curva. A área debaixo da curva é um retângulo, tal como se pode ver no diagrama abaixo.
A área pode ser encontrada multiplicando a altura pela largura. A altura deste retângulo é 4space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, e a largura é 9 s. Por isso, encontrar a área também te dá a variação da velocidade.
start text, a, with, \', on top, r, e, a, end text, equals, 4, space, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, times, 9, start text, space, s, end text, equals, 36, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, end fraction
A área debaixo de qualquer gráfico da aceleração para um determinado intervalo de tempo dá a variação da velocidade nesse intervalo de tempo.

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem os gráficos da aceleração vs. tempo?

Exemplo 1: Aceleração de um carro de corrida

Uma condutora confiante está a deslocar-se com uma velocidade constante de 20 m/s. À medida que se aproxima da linha final, a condutora começa acelerar. O gráfico abaixo mostra a aceleração do carro à medida que começa a acelerar. Assume que o carro tinha uma velocidade de 20 m/s no instante t, equals, 0, start text, space, s, end text.
Com base no gráfico abaixo, qual é a velocidade do carro de corrida após ter acelerado ao longo de 8 segundos?
Para encontrar a variação da velocidade, basta encontrar a área debaixo do gráfico da aceleração:
delta, v, equals, start text, a, with, \', on top, r, e, a, end text, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 8, start text, space, s, end text, right parenthesis, left parenthesis, 6, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, U, s, a, space, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, p, a, r, a, space, a, space, a, with, \', on top, r, e, a, space, d, o, space, t, r, i, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, colon, space, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h, point, right parenthesis, end text
delta, v, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, a, space, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, a, space, v, e, l, o, c, i, d, a, d, e, point, right parenthesis, end text
Mas isto é apenas a variação da velocidade durante o intervalo de 8 segundos. Precisamos de encontrar a velocidade final. Para isso, podemos usar a definição da variação da velocidade, delta, v, equals, v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript:
delta, v, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text
v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript, space, e, m, space, delta, v, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, f, end subscript, minus, 20, start text, space, m, slash, s, end text, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, 20, space, m, slash, s, space, n, a, space, v, e, l, o, c, i, d, a, d, e, space, i, n, i, c, i, a, l, space, v, start subscript, i, end subscript, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, f, end subscript, equals, 24, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 20, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, R, e, s, o, l, v, e, space, e, m, space, o, r, d, e, m, space, a, space, v, start subscript, f, end subscript, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, f, end subscript, equals, 44, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, e, space, f, e, s, t, e, j, a, !, right parenthesis, end text
A velocidade final do carro de corrida foi 44 m/s.

Exemplo 2: Viagem ventosa de barco à vela

Um barco à vela está a deslocar-se ao longo de uma linha reta com uma velocidade de 10 m/s. No instante t, equals, 0, start text, space, s, end text, uma rajada de vento faz com que o barco acelere, tal como se pode ver no gráfico abaixo.
Qual é a velocidade do barco à vela após o vento ter soprado durante 9 segundos?
A área debaixo do gráfico dá a variação da velocidade. A área do gráfico pode ser dividida num retângulo, e dois triângulos, tal como se pode ver no gráfico abaixo.
O retângulo azul entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 3, start text, space, s, end text é considerado uma área positiva porque está acima do eixo horizontal. O triângulo azul entre os instantes t, equals, 3, start text, space, s, end text e t, equals, 7, start text, space, s, end text também é considerado uma área positiva pois está acima do eixo horizontal. No entanto, o triângulo vermelho entre os instantes t, equals, 7, start text, space, s, end text e t, equals, 9, start text, space, s, end text, é considerado uma área negativa pois está abaixo do eixo horizontal.
Vamos somar estas áreas—usando h, w para o retângulo e start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h para os triângulos—para obter a área total entre os instantes t, equals, 0, start text, space, s, end text e t, equals, 9, start text, space, s, end text.
delta, v, equals, start text, a, with, \', on top, r, e, a, end text, equals, left parenthesis, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, start text, space, s, end text, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 4, start text, space, s, end text, right parenthesis, left parenthesis, 4, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, 2, start text, space, s, end text, right parenthesis, left parenthesis, minus, 2, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, o, m, a, space, a, s, space, a, with, \', on top, r, e, a, s, space, d, o, space, r, e, t, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, space, e, space, d, o, s, space, d, o, i, s, space, t, r, i, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, s, point, right parenthesis, end text
delta, v, equals, 18, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, F, a, z, space, o, s, space, c, a, with, \', on top, l, c, u, l, o, s, space, p, a, r, a, space, o, b, t, e, r, e, s, space, a, space, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, t, o, t, a, l, space, d, a, space, v, e, l, o, c, i, d, a, d, e, point, right parenthesis, end text
Mas esta é a variação da velocidade, por isso para encontrar a velocidade final, vamos usar a definição da variação da velocidade.
v, start subscript, f, end subscript, minus, v, start subscript, i, end subscript, equals, 18, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, U, s, a, space, a, space, d, e, f, i, n, i, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, a, space, v, a, r, i, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, d, a, space, v, e, l, o, c, i, d, a, d, e, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, f, end subscript, equals, 18, start text, space, m, slash, s, end text, plus, v, start subscript, i, end subscript, start text, left parenthesis, R, e, s, o, l, v, e, space, p, a, r, a, space, e, n, c, o, n, t, r, a, r, space, a, space, v, e, l, o, c, i, d, a, d, e, space, f, i, n, a, l, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, f, end subscript, equals, 18, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 10, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, a, space, v, e, l, o, c, i, d, a, d, e, space, i, n, i, c, i, a, l, point, right parenthesis, end text
v, start subscript, f, end subscript, equals, 28, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, e, space, f, e, s, t, e, j, a, !, right parenthesis, end text
A velocidade final do barco à vela foi v, start subscript, f, end subscript, equals, 28, start text, space, m, slash, s, end text.

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