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Física

Assunto: Física > Tema 3

Lição 5: Planos inclinados e atrito

O que são inclinações?

As superfícies normalmente não são perfeitamente horizontais. Aprende a lidar com declives!

O que são planos inclinados?

Os escorregas num parque, as estradas inclinadas, e as rampas de camiões de carga são exemplos de planos inclinados. Os planos inclinados ou inclinações são superfícies diagonais nos quais os objetos podem estar assentes, deslizar para cima, deslizar para baixo, rolar para cima, ou rolar para baixo.

Os planos inclinados são úteis pois são capazes de reduzir a magnitude da força que é necessária para mover um objeto verticalmente. São considerados uma das seis máquinas clássicas simples.

[O que é que são "máquinas simples"?]

Como é que usamos a segunda lei de Newton quando lidamos com planos inclinados?

Na maior parte dos casos, resolvemos problemas que envolvem forças usando a segunda lei de Newton para as direções vertical e horizontal. Mas normalmente estamos interessados no movimento paralelo à superfície de um plano inclinado, por isso é mais útil resolver a segunda lei de Newton para as direções paralela e perpendicular à superfície inclinada.

Isto significa que normalmente vamos usar a segunda lei de Newton para as direções perpendicular \perp e paralela \parallel à superfície do plano inclinado.

a, start subscript, \perp, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \perp, end subscript, divided by, m, end fraction, a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \parallel, end subscript, divided by, m, end fraction

Como a massa normalmente desliza paralelamente à superfície do plano inclinado, e não se move na direção perpendicular, podemos quase sempre assumir que a, start subscript, \perp, end subscript, equals, 0.

[Porque é que a aceleração na direção perpendicular é zero?]

Como é que encontramos as componentes \perp e \parallel da força gravítica?

Como vamos usar a segunda lei de Newton para as direções perpendicular e paralela à superfície do plano inclinado, vamos precisar de determinar as componentes perpendicular e paralela da força gravítica.

As componentes da força gravítica são dadas no diagrama abaixo. Tem atenção, é comum as pessoas não saberem se devem usar start text, s, e, n, o, end text ou start text, c, o, s, s, e, n, o, end text para uma dada componente.

[Por favor, explica-me como é que posso encontrar estas componentes.]

Qual é a força normal F, start subscript, N, end subscript para um objeto num plano inclinado?

A força normal F, start subscript, N, end subscript é sempre perpendicular à superfície que exerce a força. Por isso, um plano inclinado vai exercer uma força normal que é perpendicular à sua superfície.

Se não houver aceleração perpendicular à superfície do plano inclinado, as forças devem anular-se na direção perpendicular. Olhando para as forças mostradas abaixo, vemos que a força normal deve ser igual à componente perpendicular da força gravítica, para garantir que a força resultante é zero na direção perpendicular.

Por outras palavras, para um objeto assente ou a deslizar num plano inclinado,

F, start subscript, N, end subscript, equals, m, g, start text, c, o, s, end text, theta

[Espera, explica-me, porque é que isto é verdade?]

Como é que são os exemplos resolvidos que envolvem planos inclinados?

Exemplo 1: Trenó a deslizar na neve

Uma criança desliza num trenó na neve ao longo de um plano inclinado. O ângulo que a colina faz com a horizontal é theta, equals, 30, start superscript, o, end superscript, e o coeficiente de atrito cinético entre o trenó e a colina é mu, start subscript, c, end subscript, equals, 0, comma, 150. A massa combinada da criança e do trenó é 65, comma, 0, start text, space, k, g, end text.

Qual é a aceleração do trenó ao descer a colina?

Vamos começar por desenhar um diagrama de forças.

Podemos usar a segunda lei de Newton na direção paralela ao plano inclinado e obter,

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, \Sigma, F, start subscript, \parallel, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, U, s, a, space, a, space, s, e, g, u, n, d, a, space, l, e, i, space, d, e, space, N, e, w, t, o, n, space, p, a, r, a, space, a, space, d, i, r, e, ç, a, with, \~, on top, o, space, p, a, r, a, l, e, l, a, point, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, F, start subscript, c, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, a, s, space, f, o, r, ç, a, s, space, p, a, r, a, l, e, l, a, s, point, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, F, start subscript, N, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, n, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, a, space, e, x, p, r, e, s, s, a, with, \~, on top, o, space, p, a, r, a, space, f, o, r, ç, a, space, d, e, space, a, t, r, i, t, o, space, c, i, n, e, with, \', on top, t, i, c, o, point, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, left parenthesis, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, a, space, f, o, r, ç, a, space, n, o, r, m, a, l, space, end text, F, start subscript, N, end subscript, start text, space, p, o, r, space, end text, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, point, right parenthesis

a_\parallel=\dfrac{\cancel mg\text{sen}\theta-\mu_c(\cancel mg\text{cos}\theta)}{\cancel m} \quad \text{(Cancela a massa que está no numerador com a massa que está no denominador.)}

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, start cancel, m, end cancel, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, left parenthesis, start cancel, m, end cancel, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, divided by, start cancel, m, end cancel, end fraction, start text, left parenthesis, C, a, n, c, e, l, a, space, a, space, m, a, s, s, a, space, q, u, e, space, e, s, t, a, with, \', on top, space, n, o, space, n, u, m, e, r, a, d, o, r, space, c, o, m, space, a, space, m, a, s, s, a, space, q, u, e, space, e, s, t, a, with, \', on top, space, n, o, space, d, e, n, o, m, i, n, a, d, o, r, point, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, c, end subscript, left parenthesis, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, R, e, s, p, i, r, a, space, d, e, space, a, l, i, v, i, o, space, p, o, r, space, s, a, b, e, r, e, s, space, q, u, e, space, a, space, a, c, e, l, e, r, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, n, a, with, \~, on top, o, space, d, e, p, e, n, d, e, space, d, a, space, m, a, s, s, a, point, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, left parenthesis, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, s, e, n, end text, 30, start superscript, o, end superscript, minus, left parenthesis, 0, comma, 150, right parenthesis, left parenthesis, 9, comma, 8, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, start text, c, o, s, end text, 30, start superscript, o, end superscript, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, c, o, s, point, right parenthesis, end text

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, 3, comma, 63, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, e, space, c, e, l, e, b, r, a, point, right parenthesis, end text

Exemplo 2: Entrada inclinada para a garagem

Uma pessoa está a construir uma casa e quer saber o quão íngreme pode ser a entrada para a sua nova garagem de forma a que possa estacionar sem que o carro deslize. Ela sabe que o coeficiente de atrito estático entre os seus pneus e o carvão da estrada é 0, comma, 75.

Qual é o ângulo máximo em relação à horizontal que a pessoa deve considerar para poder construir a estrada para a sua garagem e estacionar o carro sem deslizar?

Vamos começar por usar a segunda lei de Newton para a direção paralela.

a, start subscript, \parallel, end subscript, equals, start fraction, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, F, start subscript, e, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, a, s, space, f, o, r, ç, a, s, space, p, a, r, a, l, e, l, a, s, comma, space, a, space, f, o, r, ç, a, space, g, r, a, v, ı, with, \', on top, t, i, c, a, space, e, space, d, e, space, a, t, r, i, t, o, space, e, s, t, a, with, \', on top, t, i, c, o, point, right parenthesis, end text

0, equals, start fraction, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, F, start subscript, e, end subscript, divided by, m, end fraction, start text, left parenthesis, C, o, m, o, space, o, space, c, a, r, r, o, space, n, a, with, \~, on top, o, space, e, s, t, a, with, \', on top, space, a, space, d, e, s, l, i, z, a, r, comma, space, a, space, a, c, e, l, e, r, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, e, with, \', on top, space, z, e, r, o, point, right parenthesis, end text

0, equals, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, F, start subscript, e, end subscript, start text, left parenthesis, M, u, l, t, i, p, l, i, c, a, space, a, m, b, o, s, space, o, s, space, m, e, m, b, r, o, s, space, p, o, r, space, end text, m, point, right parenthesis

0, equals, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, F, start subscript, e, start text, space, m, a, x, end text, end subscript, start text, left parenthesis, A, s, s, u, m, e, space, q, u, e, space, end text, F, start subscript, e, end subscript, start text, space, e, with, \', on top, space, i, g, u, a, l, space, a, o, space, s, e, u, space, v, a, l, o, r, space, m, a, with, \', on top, x, i, m, o, space, end text, F, start subscript, e, start text, space, m, a, x, end text, end subscript, point, right parenthesis

[Porque é que estamos a assumir que a força de atrito estático é igual ao seu valor máximo?]

0, equals, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, e, end subscript, F, start subscript, N, end subscript, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, d, a, space, f, o, r, ç, a, space, d, e, space, a, t, r, i, t, o, space, e, s, t, a, with, \', on top, t, i, c, o, space, m, a, with, \', on top, x, i, m, a, end text, point, right parenthesis

0, equals, m, g, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, e, end subscript, left parenthesis, m, g, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, a, space, e, x, p, r, e, s, s, a, with, \~, on top, o, space, p, a, r, a, space, a, space, f, o, r, ç, a, space, n, o, r, m, a, l, space, n, u, m, space, p, l, a, n, o, space, i, n, c, l, i, n, a, d, o, point, end text, right parenthesis

0, equals, start cancel, m, g, end cancel, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, e, end subscript, left parenthesis, start cancel, m, g, end cancel, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, D, i, v, i, d, e, space, a, m, b, o, s, space, o, s, space, m, e, m, b, r, o, s, space, p, o, r, space, end text, m, g, point, right parenthesis

0, equals, start text, s, e, n, end text, theta, minus, mu, start subscript, e, end subscript, left parenthesis, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, R, e, s, p, i, r, a, space, d, e, space, a, l, i, v, i, o, space, a, o, space, p, e, r, c, e, b, e, r, e, s, space, q, u, e, space, o, space, a, with, \^, on top, n, g, u, l, o, space, n, a, with, \~, on top, o, space, d, e, p, e, n, d, e, space, d, a, space, m, a, s, s, a, space, d, o, space, c, a, r, r, o, point, right parenthesis, end text

start text, s, e, n, end text, theta, equals, mu, start subscript, e, end subscript, left parenthesis, start text, c, o, s, end text, theta, right parenthesis, start text, left parenthesis, R, e, s, o, l, v, e, space, e, m, space, o, r, d, e, m, space, a, space, s, e, n, space, end text, theta, point, right parenthesis

start fraction, start text, s, e, n, end text, theta, divided by, start text, c, o, s, end text, theta, end fraction, equals, mu, start subscript, e, end subscript, start text, left parenthesis, D, i, v, i, d, e, space, a, m, b, o, s, space, o, s, space, m, e, m, b, r, o, s, space, p, o, r, space, c, o, s, space, end text, theta, point, right parenthesis

start text, t, g, space, end text, theta, equals, mu, start subscript, e, end subscript, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, end text, start fraction, start text, s, e, n, end text, theta, divided by, start text, c, o, s, end text, theta, end fraction, start text, space, p, o, r, space, t, g, space, end text, theta, point, right parenthesis

theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, mu, start subscript, e, end subscript, right parenthesis, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, a, space, i, n, v, e, r, s, a, space, d, a, space, t, a, n, g, e, n, t, e, space, e, m, space, a, m, b, o, s, space, o, s, space, m, e, m, b, r, o, s, point, right parenthesis, end text

theta, equals, t, g, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, 0, comma, 75, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, u, b, s, t, i, t, u, i, space, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, n, u, m, e, with, \', on top, r, i, c, o, s, point, right parenthesis, end text

theta, equals, 37, start superscript, o, end superscript, start text, left parenthesis, C, a, l, c, u, l, a, space, e, space, c, e, l, e, b, r, a, point, right parenthesis, end text

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