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Introdução às funções trigonométricas inversas

Aprende sobre o arcosseno, arcocosseno e arcotangente e como estas funções podem ser utilizadas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
Vamos analisar um novo tipo de problemas de trigonometria. Curiosamente, estes problemas não podem ser resolvidos com o seno, o cosseno ou a tangente.
Um problema: No triângulo abaixo, qual é a amplitude do ângulo L?
O que sabemos: Relativamente a L, sabemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos escrever:
tan(L)=cateto opostocateto adjacente=3565
Mas isto não nos ajuda a encontrar a amplitude de L. Bloqueámos!
Precisamos de: Precisamos de novas ferramentas matemáticas para resolvermos problemas como este. Os nossos velhos amigos seno, cosseno e tangente não o conseguem fazer. Eles dão-nos as razões trigonométricas de um determinado ângulo, mas precisamos de funções que nos digam a amplitude de um ângulo com determinada razão trigonométrica. Precisamos das funções trigonométricas inversas!

As funções trigonométricas inversas

Já conhecemos operações inversas. Por exemplo, a adição e a subtração são operações inversas e a multiplicação e a divisão são operações inversas. Cada operação faz o contrário da sua inversa.
A ideia é a mesma em trigonometria. As funções de trigonométricas inversas fazem o oposto das funções trigonométricas "regulares". Por exemplo:
  • O inverso do seno (sin1) faz o contrário do seno.
  • O inverso do cosseno (cos1) faz o contrário do cosseno.
  • O inverso da tangente (tan1) faz o contrário da tangente.
Em geral, se sabemos a razão trigonométricas mas não a amplitude do ângulo, podemos usar a respetiva função trigonométrica inversa para determinar o ângulo. Isto é representado matematicamente nas expressões abaixo.
Funções trigonométricas: o objeto é o ângulo e a imagem é a razão trigonométricaFunções trigonométricas inversas: o objeto é a razão trigonométrica e a imagem é o ângulo
sin(θ)=cateto opostohipotenusasin1(cateto opostohipotenusa)=θ
cos(θ)=cateto adjacentehipotenusacos1(cateto adjacentehipotenusa)=θ
tan(θ)=cateto opostocateto adjacentetan1(cateto opostocateto adjacente)=θ

Alerta para possíveis confusões!

A expressão sin1(x) não é o mesmo que 1sin(x). Por outras palavras, o 1 não é um expoente. Significa apenas que é a função inversa.
No entanto, há uma notação alternativa que evita esta armadilhal! O inverso do seno pode ser representado por arcsin, o inverso do cosseno como arccos e o inverso da tangente como arctan. Esta notação é comum em programação informática mas não em matemática.

Resolução do problema introdutório

No problema introdutório, conhecemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos usar o inverso da tangente para determina a amplitude do ângulo.
L^=tan1( cateto oposto  cateto adjacente )Definição.L^=tan1(3565)Substituição dos valores.L^28,30Utilização da calculadora.

Vamos tentar resolver alguns exercícios.

Problema 1
Dado KIP, determina I^.
Arredonda a tua resposta às centésimas do grau.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 2
Dado DEF, determina E^.
Arredonda a tua resposta às centésimas do grau.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema 3
Dado LYN, determina Y^.
Arredonda a tua resposta às centésimas do grau.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Desafio
Resolve o triângulo. Ou seja, determina todos os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos desconhecidas.
Apresenta as tuas respostas arredondadas às centésimas.
OE=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
O^=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
Z^=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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