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Assunto: Trigonometria > Tema 1

Lição 3: Utilizar razões trigonométricas para determinar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo

Aplicação das razões trigonométricas: Determinar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo
Aplicação das razões trigonométricas: Determinar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo
Determinar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo

Aplicação das razões trigonométricas: Determinar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo

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Aprende a utilizar razões trigonométricas para determinar o comprimento de um lado de um triângulo retângulo.

Podemos usar razões trigonométricas para determinar os comprimentos de lados de triângulos retângulos.

Vamos ver um exemplo.

Dado

[A B C]

, determina

\overset{―}{A C}

Solução

Passo 1: Seleciona a razão trigonométrica a usar.

Vamos focar-nos no ângulo $B$ ‍ uma vez que é a amplitude deste ângulo que é explicitamente dada na figura.

Nota que conhecemos o comprimento da $hipotenusa$ ‍ e queremos saber o comprimento do cateto $oposto$ ‍ ao ângulo $B$ ‍. A razão trigonométrica que envolve estes dois lados é o seno.

Passo 2: Escreve uma equação usando a razão trigonométrica seno e resolve-a, determinando o lado desconhecido.

$\begin{aligned} \sin (\hat{B}) & = \frac{cateto oposto}{hipotenusa} Definição de seno. \\ \sin (50^{\circ}) & = \frac{\overset{―}{A C}}{6} Substituição. \\ 6 \sin (50^{\circ}) & = \overset{―}{A C} Multiplicar os dois membros por 6. \\ 4, 60 & \approx \overset{―}{A C} Calcular o valor com uma calculadora. \end{aligned}$ ‍

Vamos tentar resolver alguns exercícios.

Exercício 1

Dado $[D E F]$ ‍, detetermina $\overset{―}{D E}$ ‍.
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

Passo 1: Seleciona a razão trigonométrica a usar.

Conhecemos o comprimento do $cateto adjacente$ ‍ ao ângulo $E$ ‍ e queremos calcular o comprimento da $hipotenusa$ ‍. A razão trigonométrica que envolve estes dois lados é o cosseno.

Passo 2: Escreve uma equação usando a razão trigonométrica cosseno e resolve-a, determinando o lado desconhecido.

$\begin{aligned} \cos (\hat{E}) & = \frac{cateto adjacente}{hipotenusa} Definição de cosseno. \\ \cos (55^{\circ}) & = \frac{4}{\overset{―}{E D}} Substituição. \\ \overset{―}{E D} \cdot \cos (55^{\circ}) & = 4 Multiplicação de ambos os membros por \overset{―}{E D} . \\ \overset{―}{E D} & = \frac{4}{\cos (55^{\circ})} Divisão de ambos os membros por \cos (55^{\circ}) . \\ \overset{―}{E D} & \approx 6, 97 Cálculo com a calculadora. \end{aligned}$ ‍

Problema 2

Dado $[D O G]$ ‍, detetermina $\overset{―}{D G}$ ‍.
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

Problema 3

Dado $[T R Y]$ ‍, detetermina $\overset{―}{T Y}$ ‍.
Apresenta o resultado arredondado às centésimas.

Desafio

No triângulo abaixo, qual das seguintes equações pode ser usada para determinar $z$ ‍?

Sabemos o comprimento do cateto oposto ao ângulo

X

e queremos saber o comprimento da hipotenusa. A razão trigonométrica que envolve estes dois lados é o seno. Então

\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}

Uma vez que a soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é

90^{\circ}

, também sabemos que

\hat{I} = 62^{\circ}

. Em relação a este ângulos, sabemos o comprimento do cateto adjacente e queremos saber o comprimento da hipotenusa. Portanto, a razão trigonométrica que envolve estes dois lados é o cosseno. Então,

\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}

As duas equações seguintes podem ser usadas para determinar

z

$\sin (28^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

$\cos (62^{\circ}) = \frac{20}{z}$ ‍

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jemima Bernardo
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