Aprende a encontrar o seno, o cosseno e a tangente em triângulos com ângulos de 45-45-90 graus ou com 30-60-90 graus.
Até agora usámos a calculadora para determinarmos os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo. No entanto, é possível calcular as razões trigonométricas de certos ângulos sem usar a calculadora.
Isto porque há dois triângulos especiais dos quais conhecemos as razões entre os lados. Esses triângulos são o triângulo 45-45-90 e o triângulo 30-60-90.

Os triângulos especiais

Triângulo 30-60-90
Um triângulos 30-60-90 é um triângulo retângulos com um ângulos com 3030^\circ e outro com 6060^\circ.
Triângulo 45-45-90
Um triângulo 45-45-90 é um triângulo retângulo com dois ângulos com 4545^\circ.

As razões trigonométricas de 3030^\circ

Estamos prontos para calcular as razões trigonométricas destes ângulos especiais. Vamos começar com 3030^\circ.
Vê o exemplo abaixo para veres como se calcula.

Quanto é sin(30)\sin(30^\circ)?

Aqui está um exemplo::
Passo 1: Desenha o triângulo especial que contém o ângulo pretendido.
Passo 2: Identifica os lados do triângulo de acordo com as suas razões trigonométricas.
Passo 3: Usa as definições das razões trigonométricas para determinares os valores das expressões indicadas.
sin(30)=cateto oposto hipotenusa=x2x=1x2x=12\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{cateto oposto }}{\text{hipotenusa}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}
Para não te enganares, podes pensar em xx como 1x1 x para que fique claro que x2x=1x2x=12\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1x}{2x}=\dfrac12. Podemos fazer isto porque xx não pode ser zero.
Vamos usar este método para determinar cos(30)\cos(30^\circ) e tan(30)\tan(30^\circ).

As razões trigonométricas de 4545^\circ

Vamos usar novamente este processo, agora para 4545^\circ. Começamos por desenhar e identificar os lados de um triângulo 45-45-90 .

As razões trigonométricas de 6060^\circ

O processo para determinar as razões trigonométricas para os ângulos 3030^\circ, 4545^\circ e 6060^\circ é o mesmo.
Embora ainda não tenhamos mostrado explicitamente como determinar as razões trigonométricas de 6060^\circ, temos toda a informação de que precisamos!

Resumo

Determinámos as razões trigonométricas de 3030^\circ, 4545^\circ e 6060^\circ. A tabela abaixo resume estes valores.
cos(θ)\cos(\theta)sin(θ)\sin (\theta)tan(θ)\tan( \theta)
θ=30 \theta =30^\circ32\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}12\greenD{\dfrac12}33=13\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}}
θ=45\theta = 45^\circ22=12\purpleC{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}22=12\purpleC{\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}1\purpleC1
θ=60\theta = 60^\circ12\greenD{\dfrac12}32\greenD{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}3\greenD{\sqrt{3}}
Esses valores costumam aparecer frequentemente em problemas avançados de trigonometria. Por isso, é muito útil conhecê-los.
Algumas pessoas optam por memorizar esses valores, mas isso não é necessário. Neste artigo, determinaste os valores, por isso deves conseguir determiná-los sempre que precisares.
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