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Trigonometria

Assunto: Trigonometria > Tema 1

Lição 5: Seno e cosseno de ângulos complementares

Razões trigonométricas de triângulos especiais

Aprende a encontrar o seno, o cosseno e a tangente em triângulos com ângulos de 45-45-90 graus ou com 30-60-90 graus.

Até agora usámos a calculadora para determinarmos os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ângulo. No entanto, é possível calcular as razões trigonométricas de certos ângulos sem usar a calculadora.

Isto porque há dois triângulos especiais dos quais conhecemos as razões entre os lados. Esses triângulos são o triângulo 45-45-90 e o triângulo 30-60-90.

Os triângulos especiais

Triângulo 30-60-90

Um triângulos 30-60-90 é um triângulo retângulos com um ângulos com 30, degrees e outro com 60, degrees.

[Estou cético. Pode-me mostrar como determinar estas razões?]

Triângulo 45-45-90

Um triângulo 45-45-90 é um triângulo retângulo com dois ângulos com 45, degrees.

[Estou cético. Pode-me mostrar como determinar estas razões?]

As razões trigonométricas de 30, degrees

Estamos prontos para calcular as razões trigonométricas destes ângulos especiais. Vamos começar com 30, degrees.

Vê o exemplo abaixo para veres como se calcula.

Quanto é sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Aqui está um exemplo::

Passo 1: Desenha o triângulo especial que contém o ângulo pretendido.

[Porquê?]

Passo 2: Identifica os lados do triângulo de acordo com as suas razões trigonométricas.

Passo 3: Usa as definições das razões trigonométricas para determinares os valores das expressões indicadas.

\begin{aligned} \sin (30^\circ) &= \dfrac{\text{cateto oposto }}{\text{hipotenusa}} \\\\ &= \dfrac{x}{2x} \\\\ &= \dfrac{1\maroonD{\cancel{x}}}{2\maroonD{\cancel{x}}} \\\\ &=\dfrac{1}{2}\end{aligned}

Para não te enganares, podes pensar em x como 1, x para que fique claro que start fraction, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, x, divided by, 2, x, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction. Podemos fazer isto porque x não pode ser zero.

Vamos usar este método para determinar cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis e tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis.

Quanto é cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

[Mostrar solução]

Quanto é tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

As razões trigonométricas de 45, degrees

Vamos usar novamente este processo, agora para 45, degrees. Começamos por desenhar e identificar os lados de um triângulo 45-45-90 .

Quanto é cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

[Mostrar pista.]

Quanto é sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Quanto é tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

As razões trigonométricas de 60, degrees

O processo para determinar as razões trigonométricas para os ângulos 30, degrees, 45, degrees e 60, degrees é o mesmo.

Embora ainda não tenhamos mostrado explicitamente como determinar as razões trigonométricas de 60, degrees, temos toda a informação de que precisamos!

Quanto é cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

[Mostrar pista.]

Quanto é sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Quanto é tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Resumo

Determinámos as razões trigonométricas de 30, degrees, 45, degrees e 60, degrees. A tabela abaixo resume estes valores.

	cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis	sine, left parenthesis, theta, right parenthesis	tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis
theta, equals, 30, degrees	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 3, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 3, end square root, end fraction, end color #1fab54
theta, equals, 45, degrees	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, start fraction, square root of, 2, end square root, divided by, 2, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, square root of, 2, end square root, end fraction, end color #aa87ff	start color #aa87ff, 1, end color #aa87ff
theta, equals, 60, degrees	start color #1fab54, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, start fraction, square root of, 3, end square root, divided by, 2, end fraction, end color #1fab54	start color #1fab54, square root of, 3, end square root, end color #1fab54

Esses valores costumam aparecer frequentemente em problemas avançados de trigonometria. Por isso, é muito útil conhecê-los.

Algumas pessoas optam por memorizar esses valores, mas isso não é necessário. Neste artigo, determinaste os valores, por isso deves conseguir determiná-los sempre que precisares.

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Os triângulos especiais

As razões trigonométricas de 30∘30^\circ30∘30, degrees

Quanto é sin⁡(30∘)\sin(30^\circ)sin(30∘)sine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Quanto é cos⁡(30∘)\cos(30^\circ)cos(30∘)cosine, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

Quanto é tan⁡(30∘)\tan(30^\circ)tan(30∘)tangent, left parenthesis, 30, degrees, right parenthesis?

As razões trigonométricas de 45∘45^\circ45∘45, degrees

Quanto é cos⁡(45∘)\cos (45^\circ)cos(45∘)cosine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Quanto é sin⁡(45∘)\sin(45^\circ)sin(45∘)sine, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

Quanto é tan⁡(45∘)\tan (45^\circ)tan(45∘)tangent, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

As razões trigonométricas de 60∘60^\circ60∘60, degrees

Quanto é cos⁡(60∘)\cos(60^\circ)cos(60∘)cosine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Quanto é sin⁡(60∘)\sin(60^\circ)sin(60∘)sine, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?

Quanto é tan⁡(60∘)\tan(60^\circ)tan(60∘)tangent, left parenthesis, 60, degrees, right parenthesis?