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Trigonometria

Assunto: Trigonometria > Tema 1

Lição 7: As razões trigonométricas inversas
Matemática
Trigonometria
Triângulos retângulos e trigonometria
As razões trigonométricas inversas
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Razões trigonométricas inversas

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Aprende como a cossecante, a secante e a cotangente são as inversas das razões trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente.
Já conhecemos as razões trigonométricas básicas:
Mas há mais três razões trigonométricas:
  • Em vez de start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, podemos pensar em start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
  • Em vez de start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction, podemos pensar em start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction.
  • Em vez de start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction, podemos pensar em start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction.
Estas novas razões são as razões trigonométricas inversas. Vamos aprender os seus nomes.

A cossecante left parenthesis, \csc, right parenthesis

A cossecante é o inverso do seno. É a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto oposto a um dado ângulo agudo de um triângulo retângulo
sine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction
\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

A secante left parenthesis, \sec, right parenthesis

A secante é o inverso do cosseno. É a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto adjacente a um dado ângulo agudo de um triângulo retângulo.
cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, end fraction
\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #aa87ff, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #aa87ff, c, end color #aa87ff, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction

A cotangente left parenthesis, cotangent, right parenthesis

A cotangente é o inverso da tangente. É a razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento do cateto oposto a um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #11accd, start text, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, end fraction, equals, start fraction, start color #11accd, a, end color #11accd, divided by, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, end fraction
cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, start color #ed5fa6, start text, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, start text, o, p, o, s, t, o, end text, end color #11accd, end fraction, equals, start fraction, start color #ed5fa6, b, end color #ed5fa6, divided by, start color #11accd, a, end color #11accd, end fraction

Como é que nos conseguimos lembrar disto?

Para a maioria das pessoas, é mais fácil lembrar estas novas razões relacionando-as com os seus inversos. A tabela abaixo resume essas relações.
DescriçãoRelação matemática
cossecanteA cossecante é o inverso do seno.\csc, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
secanteA secante é o inverso do cosseno.\sec, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, cosine, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction
cotangenteA cotangente é o inverso da tangente.cotangent, left parenthesis, A, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, tangent, left parenthesis, A, right parenthesis, end fraction

Determinar as razões trigonométricas inversas

Vamos analisar um exemplo.

No triângulo abaixo, determina \csc, left parenthesis, C, right parenthesis, \sec, left parenthesis, C, right parenthesis e cotangent, left parenthesis, C, right parenthesis.

Resolução

Determinar a cossecante
Sabemos que a cossecante é o inverso do seno.
Uma vez que o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, a cossecante é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.
csc⁡(C)=hipotenusacateto oposto=1715\begin{aligned}\csc (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}} {\blueD{\text{cateto oposto}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{15}} \end{aligned}
Determinar a secante
Sabemos que a secante é o inverso do cosseno.
Uma vez que o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, a secante é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.
sec⁡(C)=hipotenusacateto adjacente=178\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}
Determinar a cotangente
Sabemos que a cotangente é o inverso da tangente.
Uma vez que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, a cotangente é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.
cot⁡(C)=cateto adjacenteoposto=815\begin{aligned}\cot (C) &= \dfrac{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}{\blueD{\text{oposto}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

Agora é sua vez!

Problema 1
\csc, left parenthesis, X, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4

Problema 2
\sec, left parenthesis, W, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4

Problema 3
cotangent, left parenthesis, R, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4

Desafio
Qual é o valor exato de \csc, left parenthesis, 45, degrees, right parenthesis?

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