Aprende como a cossecante, a secante e a cotangente são as inversas das razões trigonométricas básicas: seno, cosseno e tangente.
Já conhecemos as razões trigonométricas básicas:
Mas há mais três razões trigonométricas:
  • Em vez de ac\dfrac{\blueD a}{\purpleC c}, podemos pensar em ca\dfrac{\purpleC c}{\blueD a}.
  • Em vez de bc\dfrac{\maroonC b}{\purpleC c}, podemos pensar em cb\dfrac{\purpleC c}{\maroonC b}.
  • Em vez de ab\dfrac{\blueD a}{\maroonC b}, podemos pensar em ba\dfrac{\maroonC b}{\blueD a}.
Estas novas razões são as razões trigonométricas inversas. Vamos aprender os seus nomes.

A cossecante (csc)(\csc)

A cossecante é o inverso do seno. É a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto oposto a um dado ângulo agudo de um triângulo retângulo
sin(A)=cateto opostohipotenusa=ac\sin (A)=\dfrac{\blueD{\text{cateto oposto}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}=\dfrac{\blueD a}{\purpleC c}
csc(A)=hipotenusacateto oposto=ca\csc (A)=\dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\blueD{\text{cateto oposto}}}=\dfrac{\purpleC c}{\blueD a}

A secante (sec)(\sec)

A secante é o inverso do cosseno. É a razão entre o comprimento da hipotenusa e o comprimento do cateto adjacente a um dado ângulo agudo de um triângulo retângulo.
cos(A)=cateto adjacentehipotenusa=bc\cos (A)=\dfrac{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}{\purpleC{\text{hipotenusa}}}=\dfrac{\maroonC b}{\purpleC c}
sec(A)=hipotenusacateto adjacente=cb\sec (A)=\dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}=\dfrac{\purpleC c}{\maroonC b}

A cotangente (cot)(\cot)

A cotangente é o inverso da tangente. É a razão entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento do cateto oposto a um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
tan(A)=opostoadjacente=ab \tan (A)=\dfrac{\blueD{\text{oposto}}}{\maroonC{\text{adjacente}}}=\dfrac{\blueD a}{\maroonC b}
cot(A)=adjacenteoposto=ba \cot (A)=\dfrac{\maroonC{\text{adjacente}}}{\blueD{\text{oposto}}}=\dfrac{\maroonC b}{\blueD a}

Como é que nos conseguimos lembrar disto?

Para a maioria das pessoas, é mais fácil lembrar estas novas razões relacionando-as com os seus inversos. A tabela abaixo resume essas relações.
Descrição verbalRelação matemática
cossecanteA cossecante é o inverso do seno.csc(A)=1sin(A)\csc(A)=\dfrac{1}{\sin(A)}
secanteA secante é o inverso do cosseno.sec(A)=1cos(A)\sec(A)=\dfrac{1}{\cos(A)}
cotangenteA cotangente é o inverso da tangente.cot(A)=1tan(A)\cot(A)=\dfrac{1}{\tan(A)}

Determinar as razões trigonométricas inversas

Vamos analisar um exemplo.

No triângulo abaixo, determina csc(C)\csc(C), sec(C)\sec(C) e cot(C)\cot(C).

Resolução

Determinar a cossecante
Sabemos que a cossecante é o inverso do seno.
Uma vez que o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, a cossecante é a razão entre a hipotenusa e o cateto oposto.
csc(C)=hipotenusacateto oposto=1715\begin{aligned}\csc (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}} {\blueD{\text{cateto oposto}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{15}} \end{aligned}
Determinar a secante
Sabemos que a secante é o inverso do cosseno.
Uma vez que o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, a secante é a razão entre a hipotenusa e o cateto adjacente.
sec(C)=hipotenusacateto adjacente=178\begin{aligned}\sec (C) &= \dfrac{\purpleC{\text{hipotenusa}}}{\maroonC{\text{cateto adjacente}}} \\\\ &= \dfrac{{17}}{{8}} \end{aligned}
Determinar a cotangente
Sabemos que a cotangente é o inverso da tangente.
Uma vez que a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, a cotangente é a razão entre o cateto adjacente e o cateto oposto.
cot(C)=cateto adjacenteoposto=815\begin{aligned}\cot (C) &= \dfrac{\maroonC{\text{cateto adjacente}}}{\blueD{\text{oposto}}} \\\\ &= \dfrac{{8}}{{15}} \end{aligned}

Agora é sua vez!

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