If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se estiveres protegido por um filtro da Web, certifica-te de que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Assunto: Trigonometria > Tema 3

Lição 3: Resolução de problemas com triângulos
Matemática
Trigonometria
Triângulos não retângulos e trigonometria
Resolução de problemas com triângulos
© 2024 Khan AcademyTermos de utilizaçãoPolítica de privacidadePolítica de cookies

Revisão sobre a Lei dos senos e a Lei dos cossenos

Google Classroom
Revê a Lei dos senos e a Lei dos cossenos e utiliza-as para resolver problemas que envolvam qualquer triângulo.

Lei dos senos

asin⁡(α)=bsin⁡(β)=csin⁡(γ)

Lei dos cossenos

c2=a2+b2−2abcos⁡(γ)
Queres aprender mais sobre a Lei dos senos? Vê este vídeo.
Queres aprender mais sobre a Lei dos cossenos? Vê este vídeo.

Parte 1: Usar a Lei dos senos

Esta lei é útil para encontrar a amplitude de um ângulo quando nos são dados os comprimentos de dois lados e a amplitude de um ângulo, ou para encontrar o comprimento de um lado quando nos são dados o comprimento de um lado e as amplitudes de dois ângulos.

Exemplo 1: Encontrar o comprimento de um lado

Vamos encontrar AC― no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos senos, AB―sin⁡(C^)=AC―sin⁡(B^). Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
AB―sin⁡(C^)=AC―sin⁡(B^)5sin⁡(33∘)=AC―sin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC―8,45≈AC―

Exemplo 2: Encontrar a amplitude de um ângulo

Vamos encontrar A^ no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos senos, BC―sin⁡(A^)=AB―sin⁡(C^). Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
BC―sin⁡(A^)=AB―sin⁡(C^)11sin⁡(A^)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(A^)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(A^)
Agora podemos usar a calculadora e arredondar:
A^=sin−1⁡(11sin⁡(25∘)5)≈68,4∘
Repara que, quando o ângulo for obtuso, temos de subtrair a amplitude obtida a 180∘.
Problema 1,1
BC―=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Arredonda a resposta às décimas.

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Parte 2: Usar a Lei dos cossenos

A Lei dos cossenos, também conhecida como Teorema de Carnot, é útil para encontrar a amplitude de um ângulo quando conhecemos os comprimentos de todos os lados do triângulo, ou para encontrar o comprimento de um deles quando conhecemos o comprimento dos restantes e a amplitude de um ângulo.

Exemplo 1: Encontrar a amplitude de um ângulo

Vamos encontrarB^ no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos cossenos:
(AC―)2=(AB―)2+(BC―)2−2(AB―)(BC―)cos⁡(B^)
Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(B^)25=100+36−120cos⁡(B^)120cos⁡(B^)=111cos⁡(B^)=111120
Agora podemos usar a calculadora e arredondar:
B^=cos−1⁡(111120)≈22,33∘

Exemplo 2: Encontrar o comprimento de um lado

Vamos encontrar AB― no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos cossenos:
(AB―)2=(AC―)2+(BC―)2−2(AC―)(BC―)cos⁡(C^)
Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
(AB―)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB―)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB―=281−160cos⁡(61∘)AB―≈14,3
Problema 2,1
A^=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
∘
Arredonda o resultado às unidades.

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Parte 3: Aplicar ao mundo real

Problema 3,1
"Só falta um.", comunica o Rui ao seu irmão, a partir do seu esconderijo.
O Miguel confirma que recebeu a mensagem com um aceno, quando avista o último robô maléfico.
"34 graus.", sinaliza o Miguel, para informar o irmão do ângulo que observou entre ele e o robô.
O Rui regista este valor no seu diagrama (que podes ver abaixo) e faz os cálculos. Depois de calibrar o seu canhão de raios laser para a distância correta, o Rui aponta e dispara, destruindo o robô.
Para que distância calibrou ele o canhão?
Não faças arredondamentos durante os cálculos intermédios. Arredonda o resultado às unidades.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
 m

Queres resolver mais problemas como estes? Vê este exercício.

Queres participar na conversa?

Iniciar sessão
Ainda não há comentários.
Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.