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Trigonometria

Assunto: Trigonometria > Tema 3

Lição 3: Resolução de problemas com triângulos
Matemática
Trigonometria
Triângulos não retângulos e trigonometria
Resolução de problemas com triângulos
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Revisão sobre a Lei dos senos e a Lei dos cossenos

Google Classroom
Revê a Lei dos senos e a Lei dos cossenos e utiliza-as para resolver problemas que envolvam qualquer triângulo.

Lei dos senos

start fraction, a, divided by, sine, left parenthesis, alpha, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, b, divided by, sine, left parenthesis, beta, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, c, divided by, sine, left parenthesis, gamma, right parenthesis, end fraction

Lei dos cossenos

c, squared, equals, a, squared, plus, b, squared, minus, 2, a, b, cosine, left parenthesis, gamma, right parenthesis
Queres aprender mais sobre a Lei dos senos? Vê este vídeo.
Queres aprender mais sobre a Lei dos cossenos? Vê este vídeo.

Parte 1: Usar a Lei dos senos

Esta lei é útil para encontrar a amplitude de um ângulo quando nos são dados os comprimentos de dois lados e a amplitude de um ângulo, ou para encontrar o comprimento de um lado quando nos são dados o comprimento de um lado e as amplitudes de dois ângulos.

Exemplo 1: Encontrar o comprimento de um lado

Vamos encontrar start overline, A, C, end overline no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos senos, start fraction, start overline, A, B, end overline, divided by, sine, left parenthesis, C, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, start overline, A, C, end overline, divided by, sine, left parenthesis, B, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction. Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
AB‾sin⁡(C^)=AC‾sin⁡(B^)5sin⁡(33∘)=AC‾sin⁡(67∘)5sin⁡(67∘)sin⁡(33∘)=AC‾8,45≈AC‾\begin{aligned} \dfrac{\overline{AB}}{\sin(\widehat C)}&=\dfrac{\overline{AC}}{\sin(\widehat B)} \\\\ \dfrac{5}{\sin(33^\circ)}&=\dfrac{\overline{AC}}{\sin(67^\circ)}\\\\ \dfrac{5\sin(67^\circ)}{\sin(33^\circ)}&=\overline{AC} \\\\ 8{,}45&\approx \overline{AC} \end{aligned}

Exemplo 2: Encontrar a amplitude de um ângulo

Vamos encontrar A, with, \widehat, on top no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos senos, start fraction, start overline, B, C, end overline, divided by, sine, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction, equals, start fraction, start overline, A, B, end overline, divided by, sine, left parenthesis, C, with, \widehat, on top, right parenthesis, end fraction. Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
BC‾sin⁡(A^)=AB‾sin⁡(C^)11sin⁡(A^)=5sin⁡(25∘)11sin⁡(25∘)=5sin⁡(A^)11sin⁡(25∘)5=sin⁡(A^)\begin{aligned} \dfrac{\overline{BC}}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{\overline{AB}}{\sin(\widehat C)} \\\\ \dfrac{11}{\sin(\widehat A)}&=\dfrac{5}{\sin(25^\circ)} \\\\ 11\sin(25^\circ)&=5\sin(\widehat A) \\\\ \dfrac{11\sin(25^\circ)}{5}&=\sin(\widehat A) \end{aligned}
Agora podemos usar a calculadora e arredondar:
A, with, \widehat, on top, equals, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 11, sine, left parenthesis, 25, degrees, right parenthesis, divided by, 5, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 68, comma, 4, degrees
Repara que, quando o ângulo for obtuso, temos de subtrair a amplitude obtida a 180, degrees.
Problema 1,1
  • Atual
start overline, B, C, end overline, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Arredonda a resposta às décimas.

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Parte 2: Usar a Lei dos cossenos

A Lei dos cossenos, também conhecida como Teorema de Carnot, é útil para encontrar a amplitude de um ângulo quando conhecemos os comprimentos de todos os lados do triângulo, ou para encontrar o comprimento de um deles quando conhecemos o comprimento dos restantes e a amplitude de um ângulo.

Exemplo 1: Encontrar a amplitude de um ângulo

Vamos encontrarB, with, \widehat, on top no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos cossenos:
left parenthesis, start overline, A, C, end overline, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start overline, A, B, end overline, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start overline, B, C, end overline, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, start overline, A, B, end overline, right parenthesis, left parenthesis, start overline, B, C, end overline, right parenthesis, cosine, left parenthesis, B, with, \widehat, on top, right parenthesis
Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(B^)25=100+36−120cos⁡(B^)120cos⁡(B^)=111cos⁡(B^)=111120\begin{aligned} (5)^2&=(10)^2+(6)^2-2(10)(6)\cos(\widehat B) \\\\ 25&=100+36-120\cos(\widehat B) \\\\ 120\cos(\widehat B)&=111 \\\\ \cos(\widehat B)&=\dfrac{111}{120} \end{aligned}
Agora podemos usar a calculadora e arredondar:
B, with, \widehat, on top, equals, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, 111, divided by, 120, end fraction, right parenthesis, approximately equals, 22, comma, 33, degrees

Exemplo 2: Encontrar o comprimento de um lado

Vamos encontrar start overline, A, B, end overline no triângulo seguinte:
De acordo com a Lei dos cossenos:
left parenthesis, start overline, A, B, end overline, right parenthesis, squared, equals, left parenthesis, start overline, A, C, end overline, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, start overline, B, C, end overline, right parenthesis, squared, minus, 2, left parenthesis, start overline, A, C, end overline, right parenthesis, left parenthesis, start overline, B, C, end overline, right parenthesis, cosine, left parenthesis, C, with, \widehat, on top, right parenthesis
Agora podemos usar os valores conhecidos e resolver a equação:
(AB‾)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB‾)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB‾=281−160cos⁡(61∘)AB‾≈14,3\begin{aligned} (\overline{AB})^2&=(5)^2+(16)^2-2(5)(16)\cos(61^\circ) \\\\ (\overline{AB})^2&=25+256-160\cos(61^\circ) \\\\ \overline{AB}&=\sqrt{281-160\cos(61^\circ)} \\\\ \overline{AB}&\approx 14{,}3 \end{aligned}
Problema 2,1
  • Atual
A, with, \widehat, on top, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Arredonda o resultado às unidades.

Queres resolver mais exercícios destes? Vê este exercício.

Parte 3: Aplicar ao mundo real

Problema 3,1
  • Atual
"Só falta um.", comunica o Rui ao seu irmão, a partir do seu esconderijo.
O Miguel confirma que recebeu a mensagem com um aceno, quando avista o último robô maléfico.
"34 graus.", sinaliza o Miguel, para informar o irmão do ângulo que observou entre ele e o robô.
O Rui regista este valor no seu diagrama (que podes ver abaixo) e faz os cálculos. Depois de calibrar o seu canhão de raios laser para a distância correta, o Rui aponta e dispara, destruindo o robô.
Para que distância calibrou ele o canhão?
Não faças arredondamentos durante os cálculos intermédios. Arredonda o resultado às unidades.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
start text, space, m, end text

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