Fórmula fundamental da trigonometria

Move o ponto no círculo trigonométrico para ver como o cosseno e a secante variam. Repara que, quando o cosseno é pequeno, a secante é grande, e vice-versa. Na verdade, o produto do cosseno com a secante é sempre $1$‍.

Também podemos verificar esta igualdade usando triângulos semelhantes. Move o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo a transformar-se no outro. Observa atentamente para ver que segmentos de reta são correspondentes.

Move o ponto no círculo trigonométrico para ver como o seno e a cossecante variam. Repara que, quando o seno é pequeno, a cossecante é grande, e vice-versa. Na verdade, o produto do seno com a cossecante é sempre $1$‍.

Também podemos verificar esta igualdade usando triângulos semelhantes. Move o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo a transformar-se no outro. Observa atentamente para ver que segmentos de reta são correspondentes.

Move o ponto no círculo trigonométrico para ver como a tangente e a cotangente variam. Repara que, quando a tangente é pequena, a cotangente é grande, e vice-versa. Na verdade, o produto da tangente com a cotangente é sempre $1$‍.

Também podemos verificar esta igualdade usando triângulos semelhantes. Move o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo a transformar-se no outro. Observa atentamente para ver que segmentos de reta são correspondentes.

Podemos verificar esta igualdade usando triângulos semelhantes. Move o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo a transformar-se no outro. Observa atentamente para ver que segmentos de reta são correspondentes.

Podemos verificar esta igualdade usando triângulos semelhantes. Move o ponto abaixo do gráfico para ver um triângulo a transformar-se no outro. Observa atentamente para ver que segmentos de reta são correspondentes.

Esta igualdade pode ser obtida ao aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo seguinte.

Esta igualdade pode ser obtida ao aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo seguinte.

Esta igualdade pode ser obtida ao aplicar o Teorema de Pitágoras ao triângulo seguinte.

Na figura abaixo podes ver uma forma de provar as fórmulas para a soma de ângulos. Os lados da esquerda e da direita do retângulo são iguais, portanto temos:

Os lados de cima e de baixo também são iguais, portanto temos:

É mais fácil perceber a figura ao começar pelo triângulo retângulo no centro e a partir daí calcular as medidas que faltam usando as razões trigonométricas para triângulos retângulos (lembra-te da mnemónica SOH CAH TOA).

Também é possível chegar às fórmulas das diferenças de ângulos com uma figura parecida. Consegues desenhá-la?

(Em teoria, isto não é uma demonstração para todos os possíveis valores de $\theta$‍ e $\varphi$‍, mas as fórmulas de facto vão verdadeiras para quaisquer valores.)

A figura abaixo mostra uma forma de chegar à fórmula da soma de ângulos para a tangente.

Esta é um pouco mais complexa para perceber. O objetivo é chegar ao triângulo do canto superior esquerdo da figura. Quando aplicamos a razão trigonométrica da tangente para triângulos retângulos, obtemos:

É mais facil perceber a figura ao começar pelo segmento de reta da parte inferior da figura e ir descobrindo as medidas para cima usando as razões trigonométricas para triângulos retângulos (lembra-te da mnemónica SOH CAH TOA).

Também é possível chegar à fórmula da diferença de ângulos com uma figura parecida. Consegues desenhá-la?

(Em teoria, isto não é uma demonstração para todos os possíveis valores de $\theta$‍ e $\varphi$‍, mas as fórmulas de facto vão verdadeiras para quaisquer valores.)

Podemos chegar a esta fórmula ao usar a fórmula do seno da soma de dois ângulos, no caso particular em que os ângulos somados são iguais.

Tabmém podemos obter esta fórmula usando uma fórmula para soma de ângulos, mas neste caso vamos precisar de um passo extra.

Primeiro, vamos usar dois ângulos iguais.

Agora, podemos usar a Fórmula fundamental da trigonometria, ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$‍, de forma a que o segundo membro da equação dependa apenas de cossenos.

Esta fórmula também pode ser obtida de uma fórmula para soma de ângulos.

Podemos chegar a estas fórmulas usando fórmulas para o dobro de um ângulo com a seguinte substituição:

Depois temos de manipular a equação obtida.

Por exemplo:

é transformado em...

Depois, resolvemos em ordem a $\sin {\displaystyle \frac{\theta }{2}}$‍. Experimenta mostrar as restantes fórmulas deste tipo de maneira semelhante a esta.

Podemos verificar isto ao olhar para o círculo trigonométrico.

Podemos verificar isto ao olhar para o círculo trigonométrico.

Esta fórmula é mais fácil de verificar no círculo trigonométrico, mas podemos chegar a ela começando por escrever a tangente em função do seno e do cosseno, e depois aplicar as fórmulas do seno e do cosseno dos simétricos dos ângulos.

Assim,

Todas estas fórmulas são idênticas!

Para perceber estas igualdades, é importante perceber que ir de $\theta$‍ para ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$‍ é equivalente a refletir o ângulo em relação à reta $y=x$‍.

A figura abaixo ajuda a mostrar como os ângulos se relacionam entre si e que $\sin \theta =\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta )$‍. As outras fórmulas deste tipo podem ser obtidas da mesma forma.