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Pré-cálculo

Assunto: Pré-cálculo > Tema 1

Lição 1: O que são números imaginários?
Matemática
Pré-cálculo
Números complexos
O que são números imaginários?
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As potências da unidade imaginária

Google Classroom
Aprende a simplificar qualquer potência da unidade imaginária i. Por exemplo, simplifica i²⁷ como -i.
Sabemos que i=−1 e que i2=−1.
Mas o que é que acontece com i3? E i4? E outras potências de i? Como é que as podemos avaliar?

Calcular i3 e i4

As propriedades dos expoentes podem ajudar-nos aqui! De facto, quando queremos calcular as potências de i, podemos aplicar as propriedades dos expoentes que conhecemos do sistema de números reais, desde que os expoentes sejam números inteiros.
Com isto em mente, vamos encontrar i3 e i4.
Sabemos que i3=i2⋅i. Mas como i2=−1, vemos que:
i3=i2⋅i=(−1)⋅i=−i
Da mesma forma, i4=i2⋅i2. Novamente, usando o facto de i2=−1, temos que:
i4=i2⋅i2=(−1)⋅(−1)=1

Mais potências de i

Vamos continuar! Vamos encontrar as 4 potências seguintes de i usando um método semelhante.
i5=i4⋅i     Propriedades dos expoentes=1⋅iPois i4=1=i
i6=i4⋅i2Propriedades dos expoentes=1⋅(−1)Pois i4=1 e i2=−1=−1
i7=i4⋅i3Propriedades dos expoentes=1⋅(−i)Pois i4=1 e i3=−i=−i
i8=i4⋅i4    Propriedades dos expoentes=1⋅1Pois i4=1 =1
Os resultados estão resumidos na tabela.
i1i2i3i4i5i6i7i8
i−1−i1i−1−i1

Padrão emergente

Da tabela, as potências de i formam um ciclo segundo a sequência i, −1, −i e 1.
Usando este padrão, podemos encontrar i20? Vamos experimentar!
A lista seguinte mostra os primeiros 20 números na sequência que se repete.
i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1
De acordo com esta lógica, i20 deve ser igual a 1. Vamos ver se podemos justificar isto usando os expoentes. Lembra-te, nós podemos usar as propriedades dos expoentes tal como usamos com os números reais!
i20=(i4)5Propriedades dos expoentes=(1)5i4=1=1Simplifica
De qualquer das formas, vemos que i20=1.

Potências maiores de i

Supõe agora que queríamos encontrar i138. Podíamos listar a sequência i, −1, −i, 1,... até chegarmos ao 138º termo, mas isto ia demorar muito tempo!
Nota, no entanto, que i4=1, i8=1, i12=1, etc., or, por outras palavras, que i elevado a um múltiplo de 4 é 1.
Podemos usar este facto juntamente com as propriedades dos expoentes para nos ajudar a simplificar i138.

Exemplo

Simplifica i138.

Solução

O número 138 não é um múltiplo de 4, mas o número 136 é! Vamos usar isto para nos ajudar a simplificar i138.
i138=i136⋅i2Propriedades dos expoentes=(i4⋅34)⋅i2136=4⋅34=(i4)34⋅i2Propriedades dos expoentes=(1)34⋅i2i4=1=1⋅−1i2=−1=−1
Assim, i138=−1.
Podes perguntar porque é que escolhemos escrever i138 como i136⋅i2.
Bom, se o expoente original não é um múltiplo de 4, então encontrar o múltiplo mais próximo de 4 que seja menor do que o expoente permite-nos simplificar a potência de i, i2, ou i3 apenas usando o facto de que i4=1.
Este número é fácil de encontrar se dividires o expoente original por 4. É apenas do quociente (sem resto) vezes 4.

Vamos resolver alguns exercícios

Problema 1

Simplifica i227.

Problema 2

Simplifica i2016.

Problema 3

Simplifica i537.

Problema desafio

Qual das seguintes é equivalente a i−1?
Seleciona a opção correta.

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