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Pré-cálculo

Assunto: Pré-cálculo > Tema 1

Lição 1: O que são números imaginários?

As potências da unidade imaginária

Aprende a simplificar qualquer potência da unidade imaginária i. Por exemplo, simplifica i²⁷ como -i.

Sabemos que i, equals, square root of, minus, 1, end square root e que i, squared, equals, minus, 1.

Mas o que é que acontece com i, cubed? E i, start superscript, 4, end superscript? E outras potências de i? Como é que as podemos avaliar?

Calcular i, cubed e i, start superscript, 4, end superscript

As propriedades dos expoentes podem ajudar-nos aqui! De facto, quando queremos calcular as potências de i, podemos aplicar as propriedades dos expoentes que conhecemos do sistema de números reais, desde que os expoentes sejam números inteiros.

Com isto em mente, vamos encontrar i, cubed e i, start superscript, 4, end superscript.

Sabemos que i, cubed, equals, i, squared, dot, i. Mas como i, squared, equals, minus, 1, vemos que:

$\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}$

Da mesma forma, i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Novamente, usando o facto de i, squared, equals, minus, 1, temos que:

$\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}$

Mais potências de i

Vamos continuar! Vamos encontrar as 4 potências seguintes de i usando um método semelhante.

$\begin{aligned} \Large i^5 &= {i^4\cdot i}~~~~~&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot i&&\small{\gray{\text{Pois $i^4=1$}}}\\ \\ &= \blueD i \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot (-1)&&\small{\gray{\text{Pois $i^4=1$ e $i^2=-1$}}}\\ \\ &=\greenD{-1} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot (-i)&&\small{\gray{\text{Pois $i^4=1$ e $i^3=-i$}}}\\ \\ &=\purpleD{-i} \end{aligned}$

$\begin{aligned}\Large i^8 &= {i^4\cdot i^4~~~~}&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &=1\cdot 1&&\small{\gray{\text{Pois $i^4=1$ }}}\\ \\ &=\goldD 1 \end{aligned}$

Os resultados estão resumidos na tabela.

i, start superscript, 1, end superscript	i, squared	i, cubed	i, start superscript, 4, end superscript	i, start superscript, 5, end superscript	i, start superscript, 6, end superscript	i, start superscript, 7, end superscript	i, start superscript, 8, end superscript
start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10	start color #11accd, i, end color #11accd	start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54	start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab	start color #e07d10, 1, end color #e07d10

Padrão emergente

Da tabela, as potências de i formam um ciclo segundo a sequência start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab e start color #e07d10, 1, end color #e07d10.

Usando este padrão, podemos encontrar i, start superscript, 20, end superscript? Vamos experimentar!

A lista seguinte mostra os primeiros 20 números na sequência que se repete.

\quad

start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10, start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10

De acordo com esta lógica, i, start superscript, 20, end superscript deve ser igual a start color #e07d10, 1, end color #e07d10. Vamos ver se podemos justificar isto usando os expoentes. Lembra-te, nós podemos usar as propriedades dos expoentes tal como usamos com os números reais!

$\begin{aligned} i^{20} &= (i^4)^5&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\ \\ &= (1)^5 &&\small{\gray{i^4=1}}\\\\ &= \goldD 1 &&\small{\gray{\text{Simplifica}}}\end{aligned}$

De qualquer das formas, vemos que i, start superscript, 20, end superscript, equals, 1.

Potências maiores de i

Supõe agora que queríamos encontrar i, start superscript, 138, end superscript. Podíamos listar a sequência start color #11accd, i, end color #11accd, start color #1fab54, minus, 1, end color #1fab54, start color #7854ab, minus, i, end color #7854ab, start color #e07d10, 1, end color #e07d10,... até chegarmos ao 138, start text, º, end text termo, mas isto ia demorar muito tempo!

Nota, no entanto, que i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 8, end superscript, equals, 1, i, start superscript, 12, end superscript, equals, 1, etc., or, por outras palavras, que i elevado a um múltiplo de 4 é 1.

Podemos usar este facto juntamente com as propriedades dos expoentes para nos ajudar a simplificar i, start superscript, 138, end superscript.

Exemplo

Simplifica i, start superscript, 138, end superscript.

Solução

O número 138 não é um múltiplo de 4, mas o número 136 é! Vamos usar isto para nos ajudar a simplificar i, start superscript, 138, end superscript.

$\begin{aligned} i^{138} &=i^{136}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}}\\\\ &=(i^{4\cdot 34})\cdot i^2&&\small{\gray{136=4\cdot 34}} \\\\ &=(i^{4})^{34}\cdot i^2&&\small{\gray{\text{Propriedades dos expoentes}}} \\\\ &=(1)^{34}\cdot i^2 &&\small{\gray{\text{$i^4=1$}}}\\\\ &=1\cdot -1&&\small{\gray{\text{$i^2=-1$}}}\\\\ &=-1 \end{aligned}$

Assim, i, start superscript, 138, end superscript, equals, minus, 1.

Podes perguntar porque é que escolhemos escrever i, start superscript, 138, end superscript como i, start superscript, 136, end superscript, dot, i, squared.

Bom, se o expoente original não é um múltiplo de 4, então encontrar o múltiplo mais próximo de 4 que seja menor do que o expoente permite-nos simplificar a potência de i, i, squared, ou i, cubed apenas usando o facto de que i, start superscript, 4, end superscript, equals, 1.