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Conteúdo principal

O plano complexo

Aprende o que é o plano complexo e como é usado para representar números complexos.
A unidade imaginária, ou i, é um número com as seguintes propriedades equivalentes:
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, onde i é a unidade imaginária e start color #1fab54, a, end color #1fab54 e start color #11accd, b, end color #11accd são números reais.
Se z, equals, a, plus, b, i, start color #1fab54, a, end color #1fab54 é a parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 de z e start color #11accd, b, end color #11accd é a parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, end text, end color #11accd de z.

Plano complexo

Tal como podemos usar a reta para visualizar o conjunto dos números reais, podemos usar o plano complexo (também conhecido como plano de Argand) para visualizar o conjunto de números complexos.
O plano complexo consiste em duas retas que se intersetam segundo um ângulo reto no ponto left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.
A reta horizontal (que conhecemos como sendo o eixo das abcissas no plano Cartesiano) é o eixo real.
A reta vertical (que conhecemos como sendo o eixo das ordenadas no plano Cartesiano) é o eixo imaginário.

Representar um número no plano complexo

Qualquer número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo.
Por exemplo, considera o número 3, minus, 5, i. Este número, também expresso como start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, tem uma parte real igual a start color #1fab54, 3, end color #1fab54 e uma parte imaginária igual a start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.
A localização deste número no plano complexo é o ponto que corresponde ao start color #1fab54, 3, end color #1fab54 no eixo real e ao start color #11accd, minus, 5, end color #11accd no eixo imaginário.
Assim, o número start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i está associado ao ponto left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. Em geral, o número complexo start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i corresponde ao ponto left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis no plano complexo.

Testa o teu conhecimento

Problema 1
Representa o número minus, 4, plus, 7, i no plano complexo.

Problema 2
Representa o número 6, i, plus, 1 no plano complexo.

Problema 3
Representa o número minus, i, minus, 3 no plano complexo.

Problema 4
Representa o número 4, i no plano complexo.

Problema 5
Representa o número minus, 7 no plano complexo.

Conexão com a reta real

Antes de Pitágoras, ninguém suspeitava que pudesse existir um número como square root of, 2, end square root, cuja expansão decimal é ilimitada.
Com a reta real, este número passou a poder ser representado. Como square root of, 2, end square root é a diagonal de um quadrado de lado 1, se colocarmos um dos vértices na origem da reta real com a diagonal a coincidir com a reta, o vértice oposto será a representação de square root of, 2, end square root, mostrando assim que este é um número real.
Da mesma forma, é possível representar qualquer número complexo no plano complexo.
Os números complexos existem e são uma parte importante da matemática. A reta real é simplesmente o eixo real no plano complexo, mas há muito para além dessa única reta!

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