O plano complexo

A unidade imaginária, ou $i$i, é um número com as seguintes propriedades equivalentes:

Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, onde $i$i é a unidade imaginária e $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 e $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd são números reais.

Se $z=a+bi$z, equals, a, plus, b, i, $\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 é a parte $\greenD{\text{real}}$start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 de $z$z e $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd é a parte $\blueD{\text{imaginária}}$start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, end text, end color #11accd de $z$z.

Tal como podemos usar a reta para visualizar o conjunto dos números reais, podemos usar o plano complexo (também conhecido como plano de Argand) para visualizar o conjunto de números complexos.

O plano complexo consiste em duas retas que se intersetam segundo um ângulo reto no ponto $(0,0)$left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis.

A reta horizontal (que conhecemos como sendo o eixo das abcissas no plano Cartesiano) é o eixo real.

A reta vertical (que conhecemos como sendo o eixo das ordenadas no plano Cartesiano) é o eixo imaginário.

Qualquer número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo.

Por exemplo, considera o número $3-5i$3, minus, 5, i. Este número, também expresso como $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i, tem uma parte real igual a $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 e uma parte imaginária igual a $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd.

A localização deste número no plano complexo é o ponto que corresponde ao $\greenD{3}$start color #1fab54, 3, end color #1fab54 no eixo real e ao $\blueD{-5}$start color #11accd, minus, 5, end color #11accd no eixo imaginário.

Assim, o número $\greenD{3}+(\blueD{-5})i$start color #1fab54, 3, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis, i está associado ao ponto $(\greenD{3}, \blueD{-5})$left parenthesis, start color #1fab54, 3, end color #1fab54, comma, start color #11accd, minus, 5, end color #11accd, right parenthesis. Em geral, o número complexo $\greenD a+\blueD bi$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i corresponde ao ponto $(\greenD a,\blueD b)$left parenthesis, start color #1fab54, a, end color #1fab54, comma, start color #11accd, b, end color #11accd, right parenthesis no plano complexo.

Antes de Pitágoras, ninguém suspeitava que pudesse existir um número como $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root, cuja expansão decimal é ilimitada.

Com a reta real, este número passou a poder ser representado. Como $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root é a diagonal de um quadrado de lado 1, se colocarmos um dos vértices na origem da reta real com a diagonal a coincidir com a reta, o vértice oposto será a representação de $\sqrt{2}$square root of, 2, end square root, mostrando assim que este é um número real.

Da mesma forma, é possível representar qualquer número complexo no plano complexo.

Os números complexos existem e são uma parte importante da matemática. A reta real é simplesmente o eixo real no plano complexo, mas há muito para além dessa única reta!