O plano complexo

A unidade imaginária, ou $i$‍, é um número com as seguintes propriedades equivalentes:

Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como $a+bi$‍, onde $i$‍ é a unidade imaginária e $a$‍ e $b$‍ são números reais.

Se $z=a+bi$‍, $a$‍ é a parte $\text{real}$‍ de $z$‍ e $b$‍ é a parte $\text{imaginária}$‍ de $z$‍.

Tal como podemos usar a reta para visualizar o conjunto dos números reais, podemos usar o plano complexo (também conhecido como plano de Argand) para visualizar o conjunto de números complexos.

O plano complexo consiste em duas retas que se intersetam segundo um ângulo reto no ponto $(0,0)$‍.

A reta horizontal (que conhecemos como sendo o eixo das abcissas no plano Cartesiano) é o eixo real.

A reta vertical (que conhecemos como sendo o eixo das ordenadas no plano Cartesiano) é o eixo imaginário.

Qualquer número complexo pode ser representado por um ponto no plano complexo.

Por exemplo, considera o número $3-5i$‍. Este número, também expresso como $3+(-5)i$‍, tem uma parte real igual a $3$‍ e uma parte imaginária igual a $-5$‍.

A localização deste número no plano complexo é o ponto que corresponde ao $3$‍ no eixo real e ao $-5$‍ no eixo imaginário.

Assim, o número $3+(-5)i$‍ está associado ao ponto $(3,-5)$‍. Em geral, o número complexo $a+bi$‍ corresponde ao ponto $(a,b)$‍ no plano complexo.

Antes de Pitágoras, ninguém suspeitava que pudesse existir um número como $\sqrt{2}$‍, cuja expansão decimal é ilimitada.

Com a reta real, este número passou a poder ser representado. Como $\sqrt{2}$‍ é a diagonal de um quadrado de lado 1, se colocarmos um dos vértices na origem da reta real com a diagonal a coincidir com a reta, o vértice oposto será a representação de $\sqrt{2}$‍, mostrando assim que este é um número real.

Da mesma forma, é possível representar qualquer número complexo no plano complexo.

Os números complexos existem e são uma parte importante da matemática. A reta real é simplesmente o eixo real no plano complexo, mas há muito para além dessa única reta!