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Pré-cálculo

Assunto: Pré-cálculo > Tema 1

Lição 6: Multiplicar números complexos
Matemática
Pré-cálculo
Números complexos
Multiplicar números complexos
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Multiplicar números complexos

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Aprende a multiplicar dois números complexos. Por exemplo, calcula (1+2i)⋅(3+i).
Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, onde i é a unidade imaginária e start color #1fab54, a, end color #1fab54 e start color #11accd, b, end color #11accd são números reais.
Quando multiplicamos números complexos, é útil lembrarmo-nos de que as propriedades que usamos na aritmética dos reais funcionam da mesma maneira para os números complexos.
Às vezes, pensar em i como sendo uma variável, como x, ajuda. Depois, com apenas alguns ajustes no final, podemos multiplicar tal como seria de esperar. Vamos olhar com mais atenção para isto através de vários exemplos.

Multiplicar um número real por um número complexo

Exemplo

Multiplica minus, 4, left parenthesis, 13, plus, 5, i, right parenthesis e escreve a resposta na forma a, plus, b, i.

Solução

Se o teu primeiro instinto é distribuir o minus, 4, então o teu instinto está correto! Vamos a isso!
−4(13+5i)=−4(13)+(−4)(5i)=−52−20i\begin{aligned}\tealD{-4}(13+5i)&=\tealD{-4}(13)+\tealD{(-4)}(5i)\\ \\ &=-52-20i \end{aligned}
Já está! Usámos a propriedade distributiva para multiplicar um número real por um número complexo. Vamos experimentar uma coisa ligeiramente mais complicada.

Multiplicar um número imaginário puro por um número complexo

Exemplo

Multiplica 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis e escreve a resposta na forma a, plus, b, i.

Solução

Novamente, vamos começar por distribuir o 2, i por cada termo no parêntesis.
2i(3−8i)=2i(3)−2i(8i)=6i−16i2\begin{aligned}\tealD{2i}(3-8i)&=\tealD{2i}(3)-\tealD{2i}(8i)\\ \\ &=6i-16i^2 \end{aligned}
Até este ponto, a resposta não está na forma a, plus, b, i pois contém i, squared.
No entanto, sabemos que start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10. Vamos substituir e ver onde é que isso nos leva.
2i(3−8i)=6i−16i2=6i−16(−1)=6i+16\begin{aligned}\phantom{\tealD{2i}(3-8i)} &=6i-16\goldD{i^2}\\ \\ &=6i-16(\goldD{-1})\\ \\ &=6i+16\\ \end{aligned}
Usando a propriedade comutativa, podemos escrever a resposta como 16, plus, 6, i, e assim temos que 2, i, left parenthesis, 3, minus, 8, i, right parenthesis, equals, 16, plus, 6, i.

Testa o teu conhecimento

Problema 1

Multiplica 3, left parenthesis, minus, 2, plus, 10, i, right parenthesis.
Escreve a tua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 2

Multiplica minus, 6, i, left parenthesis, 5, plus, 7, i, right parenthesis.
Escreve a tua resposta na forma a, plus, b, i.

Excelente! Estamos agora preparados para avançar mais! Nos exercícios que se seguem vais encontrar os casos típicos que te vão surgir quando te perguntarem para multiplicar números complexos.

Multiplicar dois números complexos

Exemplo

Multiplica left parenthesis, 1, plus, 4, i, right parenthesis, left parenthesis, 5, plus, i, right parenthesis e escreve a resposta na forma a, plus, b, i.

Solução

Neste exemplo, pode ser útil pensar em i como sendo uma variável.
De facto, o processo de multiplicar estes dois números complexos é muito semelhante a multiplicar dois binómios! Multiplica cada termo no primeiro fator por cada termo no segundo fator.
(1+4i)(5+i)=(1)(5)+(1)(i)+(4i)(5)+(4i)(i)=5+i+20i+4i2=5+21i+4i2\begin{aligned}(\tealD{1}+\maroonD{4i}) (5+i)&=(\tealD{1})(5)+(\tealD{1})(i)+(\maroonD{4i})(5)+(\maroonD{4i})(i)\\ \\ &=5+i+20i+4i^2\\ \\ &=5+21i+4i^2 \end{aligned}
Como start color #e07d10, i, squared, equals, minus, 1, end color #e07d10, podemos substituir i, squared por minus, 1 para obter o número na forma a, plus, b, i.
(1−5i)(−6+i)=5+21i+4i2=5+21i+4(−1)=5+21i−4=1+21i\begin{aligned}\phantom{(\tealD{1}\maroonD{-5}i) (-6+i)} &=5+21i+4\goldD{i^2}\\ \\ &=5+21i+4(\goldD{-1})\\ \\ &=5+21i-4\\ \\ &=1+21i \end{aligned}

Testa o teu conhecimento

Problema 3

Multiplica left parenthesis, 1, plus, 2, i, right parenthesis, left parenthesis, 3, plus, i, right parenthesis.
Escreve a tua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 4

Multiplica left parenthesis, 4, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 7, minus, 3, i, right parenthesis.
Escreve a tua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 5

Multiplica left parenthesis, 2, minus, i, right parenthesis, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Escreve a tua resposta na forma a, plus, b, i.

Problema 6

Multiplica left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis, left parenthesis, 1, plus, i, right parenthesis.
Escreve a tua resposta na forma a, plus, b, i.

Dois outros exercícios

Problema 1

Sejam a e b números reais. Faz o produto left parenthesis, a, minus, b, i, right parenthesis, left parenthesis, a, plus, b, i, right parenthesis.

Problema 2

Faz a operação left parenthesis, 1, plus, 3, i, right parenthesis, squared, dot, left parenthesis, 2, plus, i, right parenthesis.
Dá a resposta na forma a, plus, b, i.

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