Introdução aos números complexos

No sistema numérico dos números reais, a equação $x^2=-1$x, squared, equals, minus, 1 não tem solução. Nesta aula, vamos estudar um novo sistema numérico no qual a equação tem solução.

O elemento principal deste novo sistema numérico é o número $i$i, também chamado de unidade imaginária.

Ao ter-se múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar todo um conjunto de novos números, como $3i$3, i, $i\sqrt{5}$i, square root of, 5, end square root, e $-12i$minus, 12, i. Estes são exemplos de números imaginários.

Para além disso, é ainda possível termos números que são uma junção de números reais e imaginários, como por exemplo $2+7i$2, plus, 7, i e $3-\sqrt{2}i$3, minus, square root of, 2, end square root, i. Estes novos números chamam-se números complexos.

Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como $\greenD{a}+\blueD{b}i$start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, onde $i$i é a unidade imaginária e $\greenD{a}$start color #1fab54, a, end color #1fab54 e $\blueD{b}$start color #11accd, b, end color #11accd são números reais.

Se $z=a+bi$z, equals, a, plus, b, i, $\greenD a$start color #1fab54, a, end color #1fab54 é a parte $\greenD{\text{real}}$start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 de $z$z e $\blueD b$start color #11accd, b, end color #11accd é a parte $\blueD{\text{imaginária}}$start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, end text, end color #11accd de $z$z.

A tabela abaixo mostra exemplos de números complexos, com as partes real e imaginária identificadas. Identificar a parte real e imaginária torna-se mais fácil se o número estiver na forma algébrica padrão, $a+bi$a, plus, b, i, com $a$a e $b$b sendo números reais.

Já sabemos o que é um número real, e acabámos de definir o que é um número complexo. Vamos agora dar uma definição mais completa do que é um número imaginário.

Da mesma forma, podemos dizer que um número real é um número complexo $\textit{a+bi}$start text, a, plus, b, i, end text no qual $\textit{b=0}$start text, b, =, 0, end text.

Das observações anteriores, podemos concluir que qualquer número imaginário ou real é também um número complexo.

Contudo, há números complexos que não são nem imaginários nem reais, como por exemplo $4+2i$4, plus, 2, i.

Na tabela abaixo, classificámos vários números como reais, imaginários puros, e/ou complexos.

Tem atenção que na tabela, todos os números listados são complexos! Isto é verdade em geral!

Porque é que estudamos números complexos? Números complexos têm imensas aplicações, por exemplo, em áreas tão distintas como engenharia eletrotécnica e mecânica quântica.

De um ponto de vista puramente matemático, uma das coisas mais fixes que os números complexos nos permitem fazer é resolver qualquer equação polinomial.

Por exemplo, a equação polinomial $x^2-2x+5=0$x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 não tem qualquer solução real ou imaginária. Contudo, esta tem duas soluções que são números complexos, nomeadamente $1+2i$1, plus, 2, i e $1-2i$1, minus, 2, i.

À medida que vamos continuando o nosso estudo da matemática, vamos aprender mais sobre estes números e onde é que são usados.