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Pré-cálculo

Assunto: Pré-cálculo > Tema 1

Lição 2: O que são números complexos?

Introdução aos números complexos

Aprende o que são os números complexos e as suas partes imaginárias e reais.

No sistema numérico dos números reais, a equação

x^{2} = - 1

não tem solução. Nesta aula, vamos estudar um novo sistema numérico no qual a equação tem solução.

O elemento principal deste novo sistema numérico é o número

i

, também chamado de unidade imaginária.

$i^{2} = - 1$ ‍
$\sqrt{- 1} = i$ ‍

Ao ter-se múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar todo um conjunto de novos números, como

3 i

i \sqrt{5}

, e

- 12 i

. Estes são exemplos de números imaginários.

Para além disso, é ainda possível termos números que são uma junção de números reais e imaginários, como por exemplo

2 + 7 i

3 - \sqrt{2} i

. Estes novos números chamam-se números complexos.

Definir números complexos

Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como

a + b i

, onde

i

é a unidade imaginária e

a

b

são números reais.

\begin{array}{ccc} a & + & b i \\ ↑ & ↑ \\ Parte & Parte \\ real & imaginária \end{array}

z = a + b i

a

é a parte $real$ ‍ de

z

b

é a parte $imaginária$ ‍ de $z$ ‍.

A tabela abaixo mostra exemplos de números complexos, com as partes real e imaginária identificadas. Identificar a parte real e imaginária torna-se mais fácil se o número estiver na forma algébrica padrão,

a + b i

, com

a

b

sendo números reais.

Número complexo	Forma padrão $a + b i$ ‍	Descrição das partes
$7 i - 2$ ‍	$- 2 + 7 i$ ‍	A parte real é $- 2$ ‍ e a parte imaginária é $7$ ‍
$4 - 3 i$ ‍	$4 + (- 3) i$ ‍	A parte real é $4$ ‍ e a parte imaginária é $- 3$ ‍
$9 i$ ‍	$0 + 9 i$ ‍	A parte real é $0$ ‍ e a parte imaginária é $9$ ‍
$- 2$ ‍	$- 2 + 0 i$ ‍	A parte real é $- 2$ ‍ e a parte imaginária é $0$ ‍

Testa o teu conhecimento

Problema 1

Qual é a parte real de $13, 2 i + 1$ ‍?

Problema 2

Qual é a parte imaginária de $21 - 14 i$ ‍?

Problema 3

Qual é a parte real de $17 i$ ‍?

Classificar números complexos

Já sabemos o que é um número real, e acabámos de definir o que é um número complexo. Vamos agora dar uma definição mais completa do que é um número imaginário.

Um número imaginário é um número complexo $a+bi$ ‍ no qual $a=0$ ‍.

Da mesma forma, podemos dizer que um número real é um número complexo $a+bi$ ‍ no qual $b=0$ ‍.

Das observações anteriores, podemos concluir que qualquer número imaginário ou real é também um número complexo.

Contudo, há números complexos que não são nem imaginários nem reais, como por exemplo

4 + 2 i

\begin{matrix} Números complexos \\ \begin{array}{lcr} 4 + 2 i & - 3 - \sqrt{5} i \end{array} \\ \begin{matrix} Números reais \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} & - 12, 2 & 3 \end{array} \end{matrix} \\ \begin{matrix} Números imaginários \\ \begin{array}{lcr} \sqrt{5} i & - 12, 2 i & 3 i \end{array} \end{matrix} \end{matrix}

[Então e o número zero?]

Pergunta para reflexão

A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?

Qualquer número complexo é real ou imaginário.

Exemplos

Na tabela abaixo, classificámos vários números como reais, imaginários puros, e/ou complexos.

	$\begin{aligned} Real \\ (b = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Imaginário \\ (a = 0) \end{aligned}$ ‍	$\begin{aligned} Complexo \\ (a + b i) \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} 7 + 8 i \\ (7 + 8 i) \end{aligned}$ ‍			X
$\begin{aligned} \sqrt{3} \\ (\sqrt{3} + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} 1 \\ (1 + 0 i) \end{aligned}$ ‍	X		X
$\begin{aligned} - 1, 3 i \\ (0 + (- 1, 3) i) \end{aligned}$ ‍		X	X
$\begin{aligned} 100 i \\ (0 + 100 i) \end{aligned}$ ‍		X	X

Tem atenção que na tabela, todos os números listados são complexos! Isto é verdade em geral!

Agora tenta tu!

Problema 4

Que tipo de número é que é $- 2 + 3 i$ ‍?

Problema 5

Que tipo de número é que é $10, 2$ ‍?

Problema 6

Que tipo de número é que é $- 17 i$ ‍?

Porque é que estes números são importantes?

Porque é que estudamos números complexos? Números complexos têm imensas aplicações, por exemplo, em áreas tão distintas como engenharia eletrotécnica e mecânica quântica.

De um ponto de vista puramente matemático, uma das coisas mais fixes que os números complexos nos permitem fazer é resolver qualquer equação polinomial.

Por exemplo, a equação polinomial

x^{2} - 2 x + 5 = 0

não tem qualquer solução real ou imaginária. Contudo, esta tem duas soluções que são números complexos, nomeadamente

1 + 2 i

1 - 2 i

À medida que vamos continuando o nosso estudo da matemática, vamos aprender mais sobre estes números e onde é que são usados.

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