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Pré-cálculo
Assunto: Pré-cálculo > Tema 1
Lição 2: O que são números complexos?Introdução aos números complexos
Aprende o que são os números complexos e as suas partes imaginárias e reais.
No sistema numérico dos números reais, a equação x, squared, equals, minus, 1 não tem solução. Nesta aula, vamos estudar um novo sistema numérico no qual a equação tem solução.
O elemento principal deste novo sistema numérico é o número i, também chamado de unidade imaginária.
Ao ter-se múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar todo um conjunto de novos números, como 3, i, i, square root of, 5, end square root, e minus, 12, i. Estes são exemplos de números imaginários.
Para além disso, é ainda possível termos números que são uma junção de números reais e imaginários, como por exemplo 2, plus, 7, i e 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Estes novos números chamam-se números complexos.
Definir números complexos
Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, onde i é a unidade imaginária e start color #1fab54, a, end color #1fab54 e start color #11accd, b, end color #11accd são números reais.
Se z, equals, a, plus, b, i, start color #1fab54, a, end color #1fab54 é a parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 de z e start color #11accd, b, end color #11accd é a parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, end text, end color #11accd de z.
A tabela abaixo mostra exemplos de números complexos, com as partes real e imaginária identificadas. Identificar a parte real e imaginária torna-se mais fácil se o número estiver na forma algébrica padrão, a, plus, b, i, com a e b sendo números reais.
Número complexo | Forma padrão start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i | Descrição das partes |
---|---|---|
7, i, minus, 2 | start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, i | A parte real é start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, 7, end color #11accd |
4, minus, 3, i | start color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, i | A parte real é start color #1fab54, 4, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, minus, 3, end color #11accd |
9, i | start color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, i | A parte real é start color #1fab54, 0, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, 9, end color #11accd |
minus, 2 | start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, i | A parte real é start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, 0, end color #11accd |
Testa o teu conhecimento
Classificar números complexos
Já sabemos o que é um número real, e acabámos de definir o que é um número complexo. Vamos agora dar uma definição mais completa do que é um número imaginário.
Um número imaginário é um número complexo start text, a, plus, b, i, end text no qual start text, a, =, 0, end text.
Da mesma forma, podemos dizer que um número real é um número complexo start text, a, plus, b, i, end text no qual start text, b, =, 0, end text.
Das observações anteriores, podemos concluir que qualquer número imaginário ou real é também um número complexo.
Contudo, há números complexos que não são nem imaginários nem reais, como por exemplo 4, plus, 2, i.
Pergunta para reflexão
Exemplos
Na tabela abaixo, classificámos vários números como reais, imaginários puros, e/ou complexos.
X | ||||
X | X | |||
X | X | |||
X | X | |||
X | X |
Tem atenção que na tabela, todos os números listados são complexos! Isto é verdade em geral!
Agora tenta tu!
Porque é que estes números são importantes?
Porque é que estudamos números complexos? Números complexos têm imensas aplicações, por exemplo, em áreas tão distintas como engenharia eletrotécnica e mecânica quântica.
De um ponto de vista puramente matemático, uma das coisas mais fixes que os números complexos nos permitem fazer é resolver qualquer equação polinomial.
Por exemplo, a equação polinomial x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 não tem qualquer solução real ou imaginária. Contudo, esta tem duas soluções que são números complexos, nomeadamente 1, plus, 2, i e 1, minus, 2, i.
À medida que vamos continuando o nosso estudo da matemática, vamos aprender mais sobre estes números e onde é que são usados.
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