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Conteúdo principal

Introdução aos números complexos

Aprende o que são os números complexos e as suas partes imaginárias e reais.
No sistema numérico dos números reais, a equação x, squared, equals, minus, 1 não tem solução. Nesta aula, vamos estudar um novo sistema numérico no qual a equação tem solução.
O elemento principal deste novo sistema numérico é o número i, também chamado de unidade imaginária.
  • i, squared, equals, minus, 1
  • square root of, minus, 1, end square root, equals, i
Ao ter-se múltiplos desta unidade imaginária, podemos criar todo um conjunto de novos números, como 3, i, i, square root of, 5, end square root, e minus, 12, i. Estes são exemplos de números imaginários.
Para além disso, é ainda possível termos números que são uma junção de números reais e imaginários, como por exemplo 2, plus, 7, i e 3, minus, square root of, 2, end square root, i. Estes novos números chamam-se números complexos.

Definir números complexos

Um número complexo é qualquer número que possa ser escrito como start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, i, onde i é a unidade imaginária e start color #1fab54, a, end color #1fab54 e start color #11accd, b, end color #11accd são números reais.
a+biiParteParterealimaginaˊria\begin{array}{ccc} \Large\greenD a&\Large+&\Large \blueD bi \\ \uparrow&&\uparrow\phantom{i} \\ \text{Parte}&&\text{Parte} \\ \text{real}&&\text{imaginária} \end{array}
Se z, equals, a, plus, b, i, start color #1fab54, a, end color #1fab54 é a parte start color #1fab54, start text, r, e, a, l, end text, end color #1fab54 de z e start color #11accd, b, end color #11accd é a parte start color #11accd, start text, i, m, a, g, i, n, a, with, \', on top, r, i, a, end text, end color #11accd de z.
A tabela abaixo mostra exemplos de números complexos, com as partes real e imaginária identificadas. Identificar a parte real e imaginária torna-se mais fácil se o número estiver na forma algébrica padrão, a, plus, b, i, com a e b sendo números reais.
Número complexoForma padrão start color #1fab54, a, end color #1fab54, plus, start color #11accd, b, end color #11accd, iDescrição das partes
7, i, minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 7, end color #11accd, iA parte real é start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, 7, end color #11accd
4, minus, 3, istart color #1fab54, 4, end color #1fab54, plus, left parenthesis, start color #11accd, minus, 3, end color #11accd, right parenthesis, iA parte real é start color #1fab54, 4, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, minus, 3, end color #11accd
9, istart color #1fab54, 0, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 9, end color #11accd, iA parte real é start color #1fab54, 0, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, 9, end color #11accd
minus, 2start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54, plus, start color #11accd, 0, end color #11accd, iA parte real é start color #1fab54, minus, 2, end color #1fab54 e a parte imaginária é start color #11accd, 0, end color #11accd

Testa o teu conhecimento

Problema 1
Qual é a parte real de 13, comma, 2, i, plus, 1?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
Qual é a parte imaginária de 21, minus, 14, i?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
Qual é a parte real de 17, i?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Classificar números complexos

Já sabemos o que é um número real, e acabámos de definir o que é um número complexo. Vamos agora dar uma definição mais completa do que é um número imaginário.
Um número imaginário é um número complexo start text, a, plus, b, i, end text no qual start text, a, =, 0, end text.
Da mesma forma, podemos dizer que um número real é um número complexo start text, a, plus, b, i, end text no qual start text, b, =, 0, end text.
Das observações anteriores, podemos concluir que qualquer número imaginário ou real é também um número complexo.
Contudo, há números complexos que não são nem imaginários nem reais, como por exemplo 4, plus, 2, i.
Nuˊmeros complexos4+2i35iNuˊmeros reais512,23Nuˊmeros imaginaˊrios5i12,2i3i\purpleD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números complexos} \\\\ \begin{array}{lcr} 4+2i&&-3-\sqrt 5 i \end{array} \\\\ \goldD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números reais} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5&-12{,}2&3 \end{array} \end{array}}} \\\\ \maroonD{\boxed{ \begin{array}{c} \text{Números imaginários} \\\\ \begin{array}{lcr} \sqrt 5 i&-12{,}2i&3i \end{array} \end{array}}} \end{array}}}

Pergunta para reflexão

A afirmação seguinte é verdadeira ou falsa?
Qualquer número complexo é real ou imaginário.
Seleciona a opção correta.

Exemplos

Na tabela abaixo, classificámos vários números como reais, imaginários puros, e/ou complexos.
Real(b=0)\begin{aligned}&\text{Real}\\&(b=0)\end{aligned}Imaginaˊrio(a=0)\begin{aligned}&\text{Imaginário}\\&(a=0)\end{aligned}Complexo(a+bi)\begin{aligned}&\text{Complexo}\\&(a+bi)\end{aligned}
7+8i(7+8i)\begin{aligned}&7+8i\\&(\greenD{7}+\blueD{8}i)\end{aligned}X
3(3+0i)\begin{aligned}&\sqrt{3}\\&(\greenD{\sqrt{3}}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1(1+0i)\begin{aligned}&1\\&(\greenD{1}+\blueD{0}i)\end{aligned}XX
1,3i(0+(1,3)i)\begin{aligned}&-1{,}3i\\&(\greenD{0}+(\blueD{-1{,}3})i)\end{aligned}XX
100i(0+100i)\begin{aligned}&100i\\&(\greenD{0}+\blueD{100}i)\end{aligned}XX
Tem atenção que na tabela, todos os números listados são complexos! Isto é verdade em geral!

Agora tenta tu!

Problema 4
Que tipo de número é que é minus, 2, plus, 3, i?
Seleciona todas as respostas corretas:

Problema 5
Que tipo de número é que é 10, comma, 2?
Seleciona todas as respostas corretas:

Problema 6
Que tipo de número é que é minus, 17, i?
Seleciona todas as respostas corretas:

Porque é que estes números são importantes?

Porque é que estudamos números complexos? Números complexos têm imensas aplicações, por exemplo, em áreas tão distintas como engenharia eletrotécnica e mecânica quântica.
De um ponto de vista puramente matemático, uma das coisas mais fixes que os números complexos nos permitem fazer é resolver qualquer equação polinomial.
Por exemplo, a equação polinomial x, squared, minus, 2, x, plus, 5, equals, 0 não tem qualquer solução real ou imaginária. Contudo, esta tem duas soluções que são números complexos, nomeadamente 1, plus, 2, i e 1, minus, 2, i.
À medida que vamos continuando o nosso estudo da matemática, vamos aprender mais sobre estes números e onde é que são usados.

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