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Pré-álgebra

Assunto: Pré-álgebra > Tema 15

Lição 2: Resolver graficamente sistemas de equações
Matemática
Pré-álgebra
Sistemas de equações
Resolver graficamente sistemas de equações
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Resolver graficamente sistemas de equações

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Exemplos de como resolver sistemas de equações encontrando o ponto de interseção.
Podemos encontrar a solução para um sistema de equações construindo o gráfico das equações. Vamos fazer isso com os seguintes sistemas de equações:
start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10
start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f
Primeiro, vamos fazer o gráfico da primeira equação, start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10. Observe que a equação já está na forma reduzida da reta para encontrar o valor de y, então podemos construir o gráfico começando na interseção em y igual a 3, e então subindo 1 unidade e indo 2 unidades para a direita.
De seguida, vamos representar graficamente a segunda equação start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f.
Há exatamente um ponto em que os gráficos se intersetam. Esta é a solução para o sistema de equações.
Isto faz sentido porque todos os pontos na reta dourada são soluções para a equação start color #e07d10, y, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, plus, 3, end color #e07d10, e todos os pontos na reta verde são soluções para a equação start color #0d923f, y, equals, x, plus, 1, end color #0d923f. Então, o único ponto que é uma solução para as duas equações é o ponto de interseção

Verificar a solução

Então, da representação gráfica das duas equações, vemos que o par ordenado left parenthesis, 4, space, ;, 5, right parenthesis é a solução para o sistema. Vamos verificar isso substituindo x, equals, 4 e y, equals, 5 em cada equação.
A primeira equação:
y=12x+35=?12(4)+3Substituir x = 4 e y = 55=5Sim!\begin{aligned} \goldD{y} &\greenE= \goldD{\dfrac12x + 3} \\\\ 5&\stackrel?= \dfrac12(4) + 3 &\gray{\text{Substituir x = 4 e y = 5}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Sim!}}\end{aligned}
A segunda equação:
y=x+15=?4+1Substituir x = 4 e y = 55=5Sim!\begin{aligned} \greenE{y} &\greenE= \greenE{x+1} \\\\ 5&\stackrel?= 4 + 1 &\gray{\text{Substituir x = 4 e y = 5}}\\\\ 5 &= 5 &\gray{\text{Sim!}}\end{aligned}
Ótimo! left parenthesis, 4, space, ;, 5, right parenthesis é realmente uma solução.

Vamos praticar!

Problema 1

O seguinte sistema de equações está representado abaixo.
y, equals, minus, 3, x, minus, 7
y, equals, x, plus, 9
Encontra a solução para o sistema de equações.
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2

Aqui está um sistema de equações:
y, equals, 5, x, plus, 2
y, equals, minus, x, plus, 8
Represente graficamente as duas equações.
Encontra a solução para o sistema de equações.
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3

Aqui está um sistema de equações:
8, x, minus, 4, y, equals, 16
8, x, plus, 4, y, equals, 16
Represente graficamente as duas equações.
Encontra a solução para o sistema de equações.
x, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
y, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problemas desafio

1) Quantas soluções tem o sistema de equações representado graficamente abaixo?
Seleciona a opção correta.

2) Quantas soluções tem o sistema de equações representado graficamente abaixo?
(As duas retas são paralelas, por isso nunca se cruzam)
Seleciona a opção correta.

3) Quantas soluções tem o sistema de equações representado graficamente abaixo?
(As duas retas são exatamente iguais. Elas estão diretamente em cima uma da outra, então há um número infinito de pontos de interseção.)
Seleciona a opção correta.

4) É possível que um sistema de equações lineares tenha exatamente duas soluções?
Dica: Pensa nos gráficos dos problemas acima.
Seleciona a opção correta.

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