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Pré-álgebra

Assunto: Pré-álgebra > Tema 15

Lição 3: Resolver sistemas de equações através de substituição

Resolver sistemas de equações pelo método de substituição

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Exemplos da resolução de sistemas de equação usando o método da substituição.

Vamos resolver este sistema de equações:

$y = 2 x Equação 1$ ‍

$x + y = 24 Equação 2$ ‍

O que torna o problema difícil é existirem duas variáveis,

x

y

. Se nos pudéssemos livrar de uma das variáveis...

Aqui está uma ideia! A equação

1

diz-nos que

2 x

y

são iguais. Então, vamos substituir

y

por

2 x

na equação

2

para nos livrarmos da variável

y

nessa equação:

$\begin{aligned} x + y & = 24 & Equação 2 \\ x + 2 x & = 24 & Substituir y por 2x \end{aligned}$ ‍

Brilhante! Agora temos uma equação apenas com a variável

x

, que sabemos resolver:

$\begin{aligned} x + 2 x & = 24 \\ 3 x & = 24 \\ \frac{3 x}{3} & = \frac{24}{3} & Dividir cada membro por 3 \\ x & = 8 \end{aligned}$ ‍

Ótimo! Então sabemos que

x

é igual a

8

. Mas lembra-te que estamos à procura um par ordenado. Precisamos também de um valor de

y

. Vamos usar a primeira equação para descobrir o valor para

y

quando

x

é igual a

8

$\begin{aligned} y & = 2 x & Equação 1 \\ y & = 2 (8) & Substituir x por 8 \\ y & = 16 \end{aligned}$ ‍

Ótimo! Portanto, a solução para o sistema de equações é

(8; 16)

. É sempre uma boa ideia verificar a solução nas equações originais, só para ter certeza.

Vamos ver a primeira equação:

$\begin{aligned} y & = 2 x \\ 16 & \overset{?}{=} 2 (8) & Substituir x = 8 e y = 16 \\ 16 & = 16 & Sim! \end{aligned}$ ‍

Vamos ver a segunda equação:

$\begin{aligned} x + y & = 24 \\ 8 + 16 & \overset{?}{=} 24 & Substituir x = 8 e y = 16 \\ 24 & = 24 & Sim! \end{aligned}$ ‍

Ótimo!

(8; 16)

é, de facto, uma solução. Não devemos ter cometido nenhum erro.

É a tua vez de resolver um sistema de equações usando o método da eliminação.

Usa o método da eliminação para resolver o sistema de equações seguinte.

$4 x + y = 28$ ‍

$y = 3 x$ ‍

x =

y =

[Mostrar a solução]

Resolver em ordem a uma variável primeiro, e, depois substituir

Às vezes usar a substituição é um pouco mais complicado. Aqui está outro sistema de equações:

$- 3 x + y = - 9 Equação 1$ ‍

$5 x + 4 y = 32 Equação 2$ ‍

Observa que nenhuma destas equações estão resolvidas em ordem a

x

y

. Assim, o primeiro passo é resolver em ordem a

x

y

. Vê como se resolve:

Passo 1: Resolve uma das equações em ordem a uma das variáveis.

Vamos resolver a primeira equação em ordem a $y$ ‍:

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & Equação 1 \\ - 3 x + y + 3 x & = - 9 + 3 x & Adicionar 3x a cada lado \\ y & = - 9 + 3 x \end{aligned}$ ‍

Passo 2: Substituir essa equação na outra equação e resolver em ordem a $x$ ‍.

$\begin{aligned} 5 x + 4 y & = 32 & Equação 2 \\ 5 x + 4 (- 9 + 3 x) & = 32 & Substituir -9 + 3x por y \\ 5 x - 36 + 12 x & = 32 \\ 17 x - 36 & = 32 \\ 17 x & = 68 \\ x & = 4 & Dividir cada lado até 17 \end{aligned}$ ‍

Passo 3: Substituir $x = 4$ ‍ numa das equações originais, e resolver em ordem a $y$ ‍.

$\begin{aligned} - 3 x + y & = - 9 & A primeira equação \\ - 3 (4) + y & = - 9 & Substitua 4 por x \\ - 12 + y & = - 9 \\ y & = 3 & Adicionar 12 de cada lado \end{aligned}$ ‍