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Pré-álgebra

Assunto: Pré-álgebra > Tema 1

Lição 1: Divisores e múltiplos
Matemática
Pré-álgebra
Divisores e múltiplos
Divisores e múltiplos
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Divisores e múltiplos

Google Classroom
Aprende acerca de divisores e múltiplos e como se relacionam.

Divisores

Os divisores são números naturais que dividem de forma inteira outro número.

Representação de divisores

Os divisores indicam-nos uma forma de separar um número em partes mais pequenas. Podemos reordenar os pontos em grupos de igual tamanho para nos ajudar a visualizar os divisores de 12.
12 pontos podem ser reordenados em start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1 linha com start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1 pontos.
start color #01d1c1, 1, times, 12, end color #01d1c1, equals, 12

12 pontos podem ser reordenados em start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff linhas com start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff pontos por linha.
start color #aa87ff, 2, times, 6, end color #aa87ff, equals, 12
Ou podemos reordenar 12 pontos em start color #f9685d, 3, end color #f9685d linhas com start color #f9685d, 4, end color #f9685d pontos em cada linha.
start color #f9685d, 3, times, 4, end color #f9685d, equals, 12
Assim que percebermos todas as formas de ordenar 12 pontos, podemos observar o número de linhas e o número de pontos em cada linha para encontrar os divisores de 12.
start color #01d1c1, 1, end color #01d1c1, start color #01d1c1, 12, end color #01d1c1, start color #aa87ff, 2, end color #aa87ff, start color #aa87ff, 6, end color #aa87ff, start color #f9685d, 3, end color #f9685d, e start color #f9685d, 4, end color #f9685d são todos divisores de 12.
Podemos formar 12 com uma linha de start color #1fab54, 5, end color #1fab54 e uma linha de start color #e07d10, 7, end color #e07d10. Então start color #1fab54, 5, end color #1fab54 e start color #e07d10, 7, end color #e07d10 também são divisores de 12?

Não. start color #1fab54, 5, end color #1fab54 e start color #e07d10, 7, end color #e07d10 não são divisores porque os pontos não estão divididos por grupos de igual tamanho.
Quais das seguintes reordenações são possíveis com 18 pontos?
Seleciona todas as respostas corretas:

Então quais são os divisores de 18?
Seleciona todas as respostas corretas:

Encontrar os divisores sem figuras

Podemos encontrar os divisores de 16 sem desenhar pontos pensando quais são os números que dividem 16 de forma inteira.
start color #11accd, 1, end color #11accd é um divisor de 16 porque start color #11accd, 1, end color #11accd divide 16 sem deixar resto.
16, divided by, start color #11accd, 1, end color #11accd, equals, start color #11accd, 16, end color #11accd
O quociente, que é start color #11accd, 16, end color #11accd, comma também é um divisor de 16.
start color #1fab54, 2, end color #1fab54 é um divisor de 16 porque start color #1fab54, 2, end color #1fab54 divide 16 sem deixar resto.
16, divided by, start color #1fab54, 2, end color #1fab54, equals, start color #1fab54, 8, end color #1fab54
O quociente, que é start color #1fab54, 8, end color #1fab54, também é um divisor de 16.
start color #7854ab, 4, end color #7854ab é um divisor de 16 porque start color #7854ab, 4, end color #7854ab divide 16 sem deixar resto.
16, divided by, start color #7854ab, 4, end color #7854ab, equals, start color #7854ab, 4, end color #7854ab
Neste caso o quociente é start color #7854ab, 4, end color #7854ab, que já tínhamos descoberto que é um divisor de 16.
Os divisores de 16 são start color #11accd, 1, comma, 16, end color #11accd, start color #1fab54, 2, comma, 8, end color #1fab54, comma e start color #7854ab, 4, end color #7854ab.
Números como 3 e 5 não são divisores de 16 porque não dividem 16 de forma inteira.
Usa a divisão para determinar quais dos seguintes números são divisores de 35.
Divisor
Não é divisor
1
2
3
5
7
35

Dicas para divisores

Qualquer número tem 1 como divisor.
1 é um divisor de 10.
1 é um divisor de 364.
1 é um divisor de 5787.
Qualquer número é divisor de si próprio.
41 é um divisor de 41.
128 é um divisor de 128.
4379 é um divisor de 4379.

Pares de divisores

Dois números que, quando multiplicados, resultam num certo produto são designados por pares de divisores. Para obter um produto de 8, podemos multiplicar start color #7854ab, 1, end color #7854ab times start color #7854ab, 8, end color #7854ab e start color #1fab54, 2, end color #1fab54 times start color #1fab54, 4, end color #1fab54. Então, os pares de divisores de 8 são start color #7854ab, 1, end color #7854ab e start color #7854ab, 8, end color #7854ab e start color #1fab54, 2, end color #1fab54 e start color #1fab54, 4, end color #1fab54.
Reordenar os pontos em grupos de igual tamanho ajuda-nos a ver que os divisores vêm sempre aos pares. Um divisor do par de divisores é o número de linhas. O outro divisor do par de divisores é o número de pontos em cada linha.

Vamos encontrar os pares de divisores de 20. Recorda que estamos à procura de dois números naturais que possamos multiplicar para obter 20.
Vamos começar com start color #11accd, 1, end color #11accd porque sabemos que start color #11accd, 1, end color #11accd é um divisor de qualquer número. Multiplicamos start color #11accd, 1, end color #11accd, times, start color #11accd, 20, end color #11accd, obtendo 20, portanto start color #11accd, 20, end color #11accd também é um divisor. Podemos escrever estes divisores como extremos de uma lista, deixando espaço no meio para mais divisores.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #11accd, 20, end color #11accd
Agora vamos verificar se o próximo número natural, 2, é um divisor.
Existe algum número inteiro que possamos multiplicar por start color #1fab54, 2, end color #1fab54 para obter 20? Sim. start color #1fab54, 2, end color #1fab54, times, start color #1fab54, 10, end color #1fab54, equals, 20. Então start color #1fab54, 2, end color #1fab54 e start color #1fab54, 10, end color #1fab54 formam outro par de divisores.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #1fab54, 2, end color #1fab54start color #1fab54, 10, end color #1fab54start color #11accd, 20, end color #11accd
O próximo número natural é 3. Existe algum número inteiro que possamos multiplicar por 3 para obter 20? Não. Então 3 não é um divisor de 20.
Podemos multiplicar start color #e84d39, 4, end color #e84d39 por um número inteiro para obter 20? Sim. start color #e84d39, 4, end color #e84d39, times, start color #e84d39, 5, end color #e84d39, equals, 20. Então start color #e84d39, 4, end color #e84d39 e start color #e84d39, 5, end color #e84d39 formam um par de divisores.
start color #11accd, 1, end color #11accdstart color #1fab54, 2, end color #1fab54start color #e84d39, 4, end color #e84d39start color #e84d39, 5, end color #e84d39start color #1fab54, 10, end color #1fab54start color #11accd, 20, end color #11accd
O próximo número natural é 5. Como 5 já está na lista, concluímos que já encontrámos todos os pares de divisores de 20.
Faz a correspondência entre os pares de divisores de 40.
1

Múltiplos

Os múltiplos são os números que resultam da multiplicação de um número inteiro por outro número inteiro. Os primeiros quatro múltiplos de start color #6495ed, 3, end color #6495ed são 3, comma, 6, comma, 9 e 12 dado que:
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 1, equals, 3
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 2, equals, 6
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 3, equals, 9
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 4, equals, 12
Outros múltiplos de start color #6495ed, 3, end color #6495ed são 15, comma, 30 e 300.
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 5, equals, 15
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 10, equals, 30
start color #6495ed, 3, end color #6495ed, times, 100, equals, 300
Nunca conseguiríamos enumerar todos os múltiplos de um número. No nosso exemplo, 3 poderia ser multiplicado por um número infinito de números para encontrar novos múltiplos.

Resolução de problemas

O primeiro múltiplo de qualquer número é o próprio número.
7, times, 1, equals, 7.
Quais são os próximos dois múltiplos de 7?
7, times, 2, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

7, times, 3, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

A lista mostra múltiplos de 4.
4, comma, 8, comma, 12, comma, 16, comma, point, point, point
Qual é o próximo múltiplo de 4?
Seleciona a opção correta.

A lista mostra múltiplos de 8.
Completa os múltiplos que faltam.
8, comma, 16,
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
, 32, comma, 40, comma, 48,
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
...

Quais dos seguintes números são múltiplos de 6?
Seleciona todas as respostas corretas:

Representação de múltiplos com imagens

As imagens seguintes evidenciam múltiplos de 4.
4, times, 1, equals, 4
4, times, 2, equals, 8
4, times, 3, equals, 12
A próxima caixa terá o próximo múltiplo de 4.
Quantas joaninhas haverá na próxima caixa?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
joaninhas

Como se relacionam os divisores e os múltiplos?

start color #e07d10, 4, end color #e07d10 e start color #1fab54, 7, end color #1fab54 são ambos divisores de start color #11accd, 28, end color #11accd porque ambos dividem start color #11accd, 28, end color #11accd.
start color #11accd, 28, end color #11accd é um múltiplo de start color #e07d10, 4, end color #e07d10, comma e também é um múltiplo de start color #1fab54, 7, end color #1fab54.
Usa os números 32 e 4 para completar as frases seguintes.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
é um divisor de
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
é um múltiplo de
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
.

Exercícios com divisores e múltiplos

Quais dos seguintes números são divisores de 10?
Seleciona todas as respostas corretas:

Quais dos seguintes números são múltiplos de 10?
Seleciona todas as respostas corretas:

Sabemos que 9, times, 6, equals, 54
Então, quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
Seleciona todas as respostas corretas:

Desafio com divisores e múltiplos

Os divisores e os múltiplos são usados na resolução de problemas acerca de comprimentos de lados e áreas de retângulos.
Um retângulo tem 50 centímetros quadrados de área.
Quais dos seguintes números podem ser os comprimentos dos lados do retângulo?
Seleciona todas as respostas corretas:

O Sr. Trindade está a ordenar 36 bolachas com pepitas de chocolate para os alunos do seu clube de artes.
Se ele ordenar as bolachas em 3 filas, haverá
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
bolachas em cada fila.
Se ele arranjar as bolachas em
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
filas, haverá 4 bolachas em cada fila.

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