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Cálculo passo a passo do desvio-padrão

Introdução

Neste artigo, vamos aprender a calcular manualmente o desvio-padrão.

Na verdade, no contexto de trabalho, um estatístico não calcularia manualmente o desvio-padrão. Para grandes conjuntos de dados, os cálculos tornam-se complexos, e por isso o risco de ocorrerem erros aumenta. Além disso, existem programas de computador que ajudam os estatísticos a analisar dados de maneira mais rápida e eficaz.

Deves estar, portanto, a questionar a utilidade deste artigo. Para quê aprender um processo manual que os estatísticos fazem de forma automática recorrendo a um computador? Na verdade, aprender os cálculos envolvidos vai ajudar-te a perceber o que é realmente o desvio-padrão e para que serve. Assim, quando olhares para o valor de um desvio-padrão, saberás exatamente de onde veio esse número.

Como calcular o desvio padrão

A fórmula do desvio-padrão de uma população é

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

onde

\sum

é o símbolo do somatório,

x_{i}

é cada elemento da população,

μ

é a média da população e

n

é o número de elementos da população.

A fórmula pode parecer confusa, mas vamos analisá-la por partes para perceberes melhor. Nas próximas secções, vamos ver um exemplo passo-a-passo. Aqui estão os passos que vamos seguir:

Passo 1: Determinar a média.

Passo 2: Para cada elemento da população, determinar a sua distância à média e elevá-la ao quadrado.

Passo 3: Somar todos os valores obtidos no passo anterior.

Passo 4: Dividir pelo número de elementos.

Passo 5: Aplicar a raíz quadrada.

Nota importante

A fórmula que vimos serve para determinar o desvio-padrão de uma população. Se estivermos a lidar com uma amostra, usamos uma fórmula corrigida (que podes ver em baixo), onde dividimos por

n - 1

em vez de

n

. No entanto, o objetivo deste artigo é apenas perceber o processo para calcular o desvio-padrão, que é semelhante em ambos os casos.

s_{amostra} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - \bar{x} |^{2}}{n - 1}}

[Porque existem duas fórmulas?]

Exemplo de cálculo do desvio-padrão

Primeiro, precisamos de uma população para estudar. Vamos escolher uma população de dimensões pequenas. Como esta:

$6, 2, 3, 1$ ‍

Passo 1 - Calcular $μ$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Neste passo, queremos encontrar a média dos dados, representada pela variável

μ

Preenche o espaço em branco.

μ =

[Explica.]

Passo 2 - Calcular $| x_{i} - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Agora, queremos determinar a distância de cada elemento dos dados à média (ou seja, os desvios) e elevá-las ao quadrado.

Por exemplo, o primeiro elemento dos dados é

6

e a média é

3

, portanto a distância é

3

. O quadrado deste desvio é

9

Completa a tabela abaixo.

Elemento $x_{i}$ ‍	Quadrado da distância à média $\| x_{i} - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍	$9$ ‍
$2$ ‍	A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$3$ ‍	A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$1$ ‍	A tua resposta deve ser um número inteiro como $6$ ‍ uma fração própria simplificada, como por exemplo $3 / 5$ ‍ uma fração imprópria simplificada, como por exemplo $7 / 4$ ‍ uma fração como $7 / 4$ ‍ um número decimal exato como $0, 75$ ‍ um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

[Explica.]

Passo 3 - Calcular $\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

O símbolo

\sum

representa um somatório, portanto é neste passo que fazemos a soma dos quatro valores encontrados no Passo 2.

Preenche o espaço em branco.

\sum_{i = 1}^{4} | x_{i} - μ |^{2} =

[Explica.]

Passo 4: Calcular $\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Neste passo, dividimos o resultado do Passo 3 por

n

, que é a dimensão da população.

Preenche o espaço em branco.

\frac{\sum_{i = 1}^{4} | x_{i} - μ |^{2}}{4} =

[Explica.]

Passo 5: Determinar o desvio-padrão $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Estamos quase a acabar! Basta fazer a raíz quadrada do resultado do Passo 4.

Preenche o espaço em branco.
Arredonda o resultado às centésimas.

σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{4} | x_{i} - μ |^{2}}{4}} \approx

[Explica.]

Boa, conseguimos! Calculámos o desvio-padrão de uma população.

Resumo dos passos

Decompusemos a fórmula em cinco passos:

Passo 1: Determinar a média

μ

$μ = \frac{6 + 2 + 3 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3$ ‍

Passo 2: Calcular o quadrado da distância de cada elemento da população à média,

| x_{i} - μ |^{2}

$x_{i}$ ‍		$\| x_{i} - μ \|^{2}$ ‍
$6$ ‍		$\| 6 - 3 \|^{2} = 3^{2} = 9$ ‍
$2$ ‍		$\| 2 - 3 \|^{2} = 1^{2} = 1$ ‍
$3$ ‍		$\| 3 - 3 \|^{2} = 0^{2} = 0$ ‍
$1$ ‍		$\| 1 - 3 \|^{2} = 2^{2} = 4$ ‍

Passos 3, 4 e 5:

$\begin{aligned} σ & = \sqrt{\frac{\sum_{}^{} | x - μ |^{2}}{N}} \\ = \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 4}{4}} \\ = \sqrt{\frac{14}{4}} Fazer a soma dos quadrados das distãncias à média (Passo 3). \\ = \sqrt{3, 5} Dividir pela dimensão da população (Passo 4). \\ \approx 1, 87 Aplicar a raíz quadrada (Passo 5). \end{aligned}$ ‍

Experimenta

Recorda a fórmula:

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Considera esta população:

$1, 4, 7, 2, 6$ ‍

Determina o desvio-padrão da população.
Arredonda o resultado às centésimas.

SD =

[Explica.]

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Assunto: MACS 11.º ano > Tema 2

Cálculo passo a passo do desvio-padrão

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Como calcular o desvio padrão

Nota importante

Exemplo de cálculo do desvio-padrão

Passo 1 - Calcular $μ$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Passo 2 - Calcular $| x_{i} - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Passo 3 - Calcular $\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Passo 4: Calcular $\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Passo 5: Determinar o desvio-padrão $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Resumo dos passos

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Como calcular o desvio padrão

Nota importante

Exemplo de cálculo do desvio-padrão

Passo 1 - Calcular μ‍ em ∑i=1n|xi−μ|2n‍

Passo 2 - Calcular |xi−μ|2‍ em ∑i=1n|xi−μ|2n‍

Passo 3 - Calcular ∑i=1n|xi−μ|2‍ em ∑i=1n|xi−μ|2n‍

Passo 4: Calcular ∑i=1n|xi−μ|2n‍ em ∑i=1n|xi−μ|2n‍

Passo 5: Determinar o desvio-padrão ∑i=1n|xi−μ|2n‍

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Passo 2 - Calcular $| x_{i} - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Passo 3 - Calcular $\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Passo 4: Calcular $\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}$ ‍ em $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍

Passo 5: Determinar o desvio-padrão $\sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} - μ |^{2}}{n}}$ ‍