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MACS 11.º ano
Assunto: MACS 11.º ano > Tema 2
Lição 4: Valor médio e Variância- Valor esperado de uma variável aleatória discreta
- Valor esperado (básico)
- Valor esperado: qual a situação potencialmente mais rentável?
- Valor esperado: frequências absolutas em falta
- Variância e desvio-padrão de uma variável aleatória discreta
- Variância amostral
- Desvio-padrão da amostra
- Variância de uma população
- Desvio-padrão da população
- Cálculo passo a passo do desvio-padrão
- Desvio-padrão de uma população
- Revisão sobre desvio-padrão da amostra e da população
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Cálculo passo a passo do desvio-padrão
Introdução
Neste artigo, vamos aprender a calcular manualmente o desvio-padrão.
Na verdade, no contexto de trabalho, um estatístico não calcularia manualmente o desvio-padrão. Para grandes conjuntos de dados, os cálculos tornam-se complexos, e por isso o risco de ocorrerem erros aumenta. Além disso, existem programas de computador que ajudam os estatísticos a analisar dados de maneira mais rápida e eficaz.
Deves estar, portanto, a questionar a utilidade deste artigo. Para quê aprender um processo manual que os estatísticos fazem de forma automática recorrendo a um computador? Na verdade, aprender os cálculos envolvidos vai ajudar-te a perceber o que é realmente o desvio-padrão e para que serve. Assim, quando olhares para o valor de um desvio-padrão, saberás exatamente de onde veio esse número.
Como calcular o desvio padrão
A fórmula do desvio-padrão de uma população é
onde é o símbolo do somatório, é cada elemento da população, é a média da população e é o número de elementos da população.
A fórmula pode parecer confusa, mas vamos analisá-la por partes para perceberes melhor. Nas próximas secções, vamos ver um exemplo passo-a-passo. Aqui estão os passos que vamos seguir:
Passo 1: Determinar a média.
Passo 2: Para cada elemento da população, determinar a sua distância à média e elevá-la ao quadrado.
Passo 3: Somar todos os valores obtidos no passo anterior.
Passo 4: Dividir pelo número de elementos.
Passo 5: Aplicar a raíz quadrada.
Nota importante
A fórmula que vimos serve para determinar o desvio-padrão de uma população. Se estivermos a lidar com uma amostra, usamos uma fórmula corrigida (que podes ver em baixo), onde dividimos por em vez de . No entanto, o objetivo deste artigo é apenas perceber o processo para calcular o desvio-padrão, que é semelhante em ambos os casos.
Exemplo de cálculo do desvio-padrão
Primeiro, precisamos de uma população para estudar. Vamos escolher uma população de dimensões pequenas. Como esta:
Passo 1 - Calcular em
Neste passo, queremos encontrar a média dos dados, representada pela variável .
Passo 2 - Calcular em
Agora, queremos determinar a distância de cada elemento dos dados à média (ou seja, os desvios) e elevá-las ao quadrado.
Por exemplo, o primeiro elemento dos dados é e a média é , portanto a distância é . O quadrado deste desvio é .
Passo 3 - Calcular em
O símbolo representa um somatório, portanto é neste passo que fazemos a soma dos quatro valores encontrados no Passo 2.
Passo 4: Calcular em
Neste passo, dividimos o resultado do Passo 3 por , que é a dimensão da população.
Passo 5: Determinar o desvio-padrão
Estamos quase a acabar! Basta fazer a raíz quadrada do resultado do Passo 4.
Boa, conseguimos! Calculámos o desvio-padrão de uma população.
Resumo dos passos
Decompusemos a fórmula em cinco passos:
Passo 1: Determinar a média .
Passo 2: Calcular o quadrado da distância de cada elemento da população à média, .
Passos 3, 4 e 5:
Experimenta
Recorda a fórmula:
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