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Probabilidade binomial (básico)

Problema 1: lançamentos livres

A Sílvia encesta 90% dos lançamentos livres. Ela vai fazer 3 lançamentos livres. Assume que os resultados dos lançamentos são independentes uns dos outros.
Ela quer determinar a probabilidade de encestar exatamente 2 dos 3 lançamentos livres.
De forma a resolvermos no problema, vamos pensar por partes.
problema A
Se ela encestar 2 dos lançamentos livres, quantos lançamentos é que ela tem de falhar?
Seleciona a opção correta.

Problema B
Determina a probabilidade de ela encestar os primeiros 2 lançamentos livres e falhar o terceiro lançamento livre.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima se necessário.
P(encestar, encestar, falhar)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

problema c
"Encestar, encestar, falhar" não é a única maneira da Sílvia concretizar 2 lançamentos livres de um total de 3 tentativas.
Calcula a probabilidade de ela encestar o primeiro lançamento, falhar o segundo, e encestar o terceiro.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima se necessário.
P(encestar, falhar, encestar)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

problema d
A Sílvia podia também concretizar 2 lançamentos livres se os resultados fossem: "falhar, encestar, encestar".
Calcula a probabilidade de ela falhar o primeiro lançamento, e encestar os dois lançamentos seguintes.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima se necessário.
P(falhar, encestar, encestar)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

problema E
Usa a fórmula da combinação para verificar que essas 3 maneiras representam todas as maneiras diferentes que podemos ter em conta 2 concretizações num total de 3 tentativas.
nCk=n!(nk)!k!
3C2=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
maneiras

problema f
Agora adiciona os três valores previamente obtidos para determinares a probabilidade de ela concretizar exatamente 2 dos 3 lançamentos livres.
Aproxima a tua resposta à centésima mais próxima caso aches necessário.
P(encestar 2 de 3 lançamentos livres)=P(F)+P(S)+P(S)
P(encestar 2 de 3 lançamentos livres)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Generalizar a partir do Problema 1: Construir uma fórmula para uso futuro

Vimos no Problema 1 que diferentes ordens do mesmo resultado correspondem cada uma delas à mesma probabilidade.
Podemos construir uma fórmula para este tipo de problema, a que se chama de configuração binomial. Um problema de probabilidade binomial tem as seguintes características:
  • um conjunto fixo de ensaios (n)
  • cada ensaio pode ser classificado como um "sucesso" ou um "insucesso"
  • a probabilidade de sucesso (p) é a mesma para cada ensaio
  • os resultados de cada ensaio são independentes uns dos outros
Aqui está um resumo da nossa estratégia global para a probabilidade binomial:
P(# de sucessosobter exatamente algum)=(arranjos# de)×(de sucessoprobabilidade)(sucessos# de)×(de insucessoprobabilidade)(insucessos# de)
Usar o exemplo do Problema 1:
  • n=3 lançamentos livres
  • em cada lançamento livre ela pode "encestar" (sucesso) ou "falhar" (insucesso)
  • a probabilidade de ela concretizar um lançamento é p=0,90
  • assumindo que os lançamentos livres são independentes uns dos outros
P(encestar 2 de 3 lançamentos livres)=3C2×(0,90)2×(0,10)1=3×0,81×0,10=3×0,081=0,243

Em geral...

P(exatamente k sucessos)=nCk×pk×(1p)nk
Agora tenta usar estas estratégias para resolver outro problema.

Problema 2

O irmão mais novo da Sílvia, o Luís, tem uma probabilidade apenas de 20% de encestar um lançamento livre. Ele vai lançar 4 vezes.
Qual é a probabilidade de ele concretizar exatamente 2 dos 4 lançamentos livres?
P(encestar exatamente 2)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Problema desafio

A Sílvia promete comprar um gelado ao Luís se ele encestar 3 ou mais lançamentos, do total de 4 lançamentos livres que ele vai fazer.
Qual é a probabilidade de ele encestar 3 ou mais dos 4 lançamentos livres?
P(encestar 3 ou mais)=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

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