If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se estiveres protegido por um filtro da Web, certifica-te de que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Cálculo passo a passo do desvio-padrão

Introdução

Neste artigo, vamos aprender a calcular manualmente o desvio-padrão.
Na verdade, no contexto de trabalho, um estatístico não calcularia manualmente o desvio-padrão. Para grandes conjuntos de dados, os cálculos tornam-se complexos, e por isso o risco de ocorrerem erros aumenta. Além disso, existem programas de computador que ajudam os estatísticos a analisar dados de maneira mais rápida e eficaz.
Deves estar, portanto, a questionar a utilidade deste artigo. Para quê aprender um processo manual que os estatísticos fazem de forma automática recorrendo a um computador? Na verdade, aprender os cálculos envolvidos vai ajudar-te a perceber o que é realmente o desvio-padrão e para que serve. Assim, quando olhares para o valor de um desvio-padrão, saberás exatamente de onde veio esse número.

Como calcular o desvio padrão

A fórmula do desvio-padrão de uma população é
σ=i=1n|xiμ|2n
onde é o símbolo do somatório, xi é cada elemento da população, μ é a média da população e n é o número de elementos da população.
A fórmula pode parecer confusa, mas vamos analisá-la por partes para perceberes melhor. Nas próximas secções, vamos ver um exemplo passo-a-passo. Aqui estão os passos que vamos seguir:
Passo 1: Determinar a média.
Passo 2: Para cada elemento da população, determinar a sua distância à média e elevá-la ao quadrado.
Passo 3: Somar todos os valores obtidos no passo anterior.
Passo 4: Dividir pelo número de elementos.
Passo 5: Aplicar a raíz quadrada.

Nota importante

A fórmula que vimos serve para determinar o desvio-padrão de uma população. Se estivermos a lidar com uma amostra, usamos uma fórmula corrigida (que podes ver em baixo), onde dividimos por n1 em vez de n. No entanto, o objetivo deste artigo é apenas perceber o processo para calcular o desvio-padrão, que é semelhante em ambos os casos.
samostra=i=1n|xix¯|2n1

Exemplo de cálculo do desvio-padrão

Primeiro, precisamos de uma população para estudar. Vamos escolher uma população de dimensões pequenas. Como esta:
6,2,3,1

Passo 1 - Calcular μ em i=1n|xiμ|2n

Neste passo, queremos encontrar a média dos dados, representada pela variável μ.
Preenche o espaço em branco.
μ=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Passo 2 - Calcular |xiμ|2 em i=1n|xiμ|2n

Agora, queremos determinar a distância de cada elemento dos dados à média (ou seja, os desvios) e elevá-las ao quadrado.
Por exemplo, o primeiro elemento dos dados é 6 e a média é 3, portanto a distância é 3. O quadrado deste desvio é 9.
Completa a tabela abaixo.
Elemento xiQuadrado da distância à média |xiμ|2
69
2
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
3
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
1
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Passo 3 - Calcular i=1n|xiμ|2 em i=1n|xiμ|2n

O símbolo representa um somatório, portanto é neste passo que fazemos a soma dos quatro valores encontrados no Passo 2.
Preenche o espaço em branco.
i=14|xiμ|2=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Passo 4: Calcular i=1n|xiμ|2n em i=1n|xiμ|2n

Neste passo, dividimos o resultado do Passo 3 por n, que é a dimensão da população.
Preenche o espaço em branco.
i=14|xiμ|24=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Passo 5: Determinar o desvio-padrão i=1n|xiμ|2n

Estamos quase a acabar! Basta fazer a raíz quadrada do resultado do Passo 4.
Preenche o espaço em branco.
Arredonda o resultado às centésimas.
σ=i=14|xiμ|24
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Boa, conseguimos! Calculámos o desvio-padrão de uma população.

Resumo dos passos

Decompusemos a fórmula em cinco passos:
Passo 1: Determinar a média μ.
μ=6+2+3+14=124=3
Passo 2: Calcular o quadrado da distância de cada elemento da população à média, |xiμ|2.
xi|xiμ|2
6|63|2=32=9
2|23|2=12=1
3|33|2=02=0
1|13|2=22=4
Passos 3, 4 e 5:
σ=|xμ|2N=9+1+0+44=144        Fazer a soma dos quadrados das distãncias à média (Passo 3).=3,5        Dividir pela dimensão da população (Passo 4).1,87        Aplicar a raíz quadrada (Passo 5).

Experimenta

Recorda a fórmula:
σ=i=1n|xiμ|2n
Considera esta população:
1,4,7,2,6
Determina o desvio-padrão da população.
Arredonda o resultado às centésimas.
SD=
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Queres participar na conversa?

Ainda não há comentários.
Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.