Conteúdo principal
Geometria 2
Assunto: Geometria 2 > Tema 2
Lição 3: Propriedades e definições de transformaçõesDefinir rotações com precisão
Lê um diálogo onde um aluno e um professor procuram encontrar definir rotações tão precisamente quanto possível.
O diálogo seguinte ocorre entre um professor e um aluno. O objetivo deles é descrever uma rotação qualquer usando linguagem matemática precisa. Como verás, o aluno terá de rever a sua definição várias vezes para a tornar mais e mais precisa. Diverte-te!
Professor:
Hoje vamos tentar descrever o que uma rotação faz de maneira geral.
Temos uma rotação de theta graus em torno de um ponto P. Como descreveriam o efeito desta rotação noutro ponto A?
Aluno:
Como assim, professor? Como posso saber o que a rotação faz a A se não sei nada sobre ela?
Professor:
É verdade que não sabes nada sobre esta rotação em particular, mas todas as rotações se comportam da mesma forma. Consegues pensar nalguma forma de descrever o que esta rotação faz a A?
Aluno:
Hmmmm... Deixe cá ver... Bem, talvez A se mova para uma posição diferente em relação a P. Por exemplo, se A estiver à direita de P, pode ficar acima de P com a rotação. Depende do quão grande theta é.
Professor:
Perfeito. Podemos descrever o que disseste desta forma:
Suponham que a rotação transforma A no ponto B, então o ângulo entre os segmentos de reta open bracket, P, A, close bracket e open bracket, P, B, close bracket é theta.
Aluno:
Sim, concordo.
Professor:
No entanto, lembra-te de que em matemática temos de ser muito precisos. Existe só uma maneira de criar um ângulo angle, P igual a theta?
Aluno:
Deixe-me pensar... Não! Há duas maneiras de criar esse ângulo: no sentido direto e no sentido indireto.
Professor:
Certo! As rotações são feitas no sentido direto, e a nossa definição tem de ter isso em conta:
Uma rotação de theta graus em torno do ponto P leva qualquer ponto A no sentido direto até a um ponto B onde A, P, with, \widehat, on top, B, equals, theta.
Obviamente, se theta tiver amplitude negativa, a rotação será no outro sentido, ou seja, no sentido indireto.
Aluno:
Boa. Já está tudo?
Professor:
Diz-me tu. A definição tem de deixar absolutamente claro para onde A é transformado. Isto é, tem de haver apenas um ponto que corresponda à descrição de B.
Existe apenas um ponto que cria um ângulo direto igual a theta?
Aluno:
Acho que sim... Não, espere! Há vários pontos que criam este ângulo! Qualquer ponto na semirreta P, with, \dot, on top, B faz um ângulo de amplitude theta com A.
Professor:
Excelente observação! Então, consegues melhorar a tua definição?
Aluno:
Sim. Para além de o ângulo ser igual a theta, a distância a P deve manter-se. Penso que podemos definir isto matematicamente como start overline, P, A, end overline, equals, start overline, P, B, end overline.
Professor:
Boa! Podemos resumir o nosso trabalho na seguinte definição:
Uma rotação de theta graus em torno de P move um ponto arbitrário A no sentido direto para um ponto B tal que start overline, P, A, end overline, equals, start overline, P, B, end overline e A, P, with, \widehat, on top, B, equals, theta.
Aluno:
Uau, que precisão!
Professor:
É verdade. Como um extra, vou mostrar-vos outra maneira de definir rotações:
Uma rotação de theta graus em torno de P move qualquer ponto A no sentido direto para um ponto B tal que tanto A como B estão na mesma circunferência centrada em P e A, P, with, \widehat, on top, B, equals, theta.
Aluno:
Isso também funciona porque todos os pontos da circunferência estão à mesma distância do centro.
Professor:
Exatamente! A grande diferença entre as duas definições é que a primeira recorre a segmentos de reta e a segunda a uma circunferência.
Aluno:
Boa. E agora, já está tudo?
Professor:
Sim. Conseguimos definir as rotações da maneira mais precisa possível.
Queres participar na conversa?
Ainda não há comentários.