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Revisões sobre as equações da circunferência

Faz uma revisão sobre as diferentes equações da circunferência e resolve alguns exercícios.

O que é a equação cartesiana reduzida de uma circunferência?

left parenthesis, x, minus, start color #11accd, h, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, r, end color #e07d10, squared
Esta é a equação cartesiana reduzida da circunferência de centro em left parenthesis, start color #11accd, h, end color #11accd, comma, start color #ca337c, k, end color #ca337c, right parenthesis e raio start color #e07d10, r, end color #e07d10.
As circunferências também podem ser dadas na forma expandida, que é simplesmente o resultado de expandir os quadrados binomiais e combinar os termos iguais.
Por exemplo, a equação da circunferência de centro em left parenthesis, start color #11accd, 1, end color #11accd, comma, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis com raio start color #e07d10, 3, end color #e07d10 é left parenthesis, x, minus, start color #11accd, 1, end color #11accd, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, start color #ca337c, 2, end color #ca337c, right parenthesis, squared, equals, start color #e07d10, 3, end color #e07d10, squared. A forma expandida desta equação é:
(x1)2+(y2)2=32(x22x+1)+(y24y+4)=9x2+y22x4y4=0\begin{aligned} (x-\blueD 1)^2+(y-\maroonD 2)^2&=\goldD 3^2 \\\\ (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)&=9 \\\\ x^2+y^2-2x-4y-4&=0 \end{aligned}
Queres aprender mais sobre a equação de uma circunferência? Vê este vídeo.

Exercício 1: Usar a equação cartesiana reduzida da circunferência

Problema 1,1
left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, squared, plus, left parenthesis, y, minus, 6, right parenthesis, squared, equals, 48
Qual é o centro da circunferência?
left parenthesis
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Qual é o seu raio?
Se necessário, arredonda a resposta a duas casas decimais.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidades

Queres tentar resolver mais problemas como este? Vê este exercício e este exercício.

Exercício 2: Escrever as equações da circunferência

Problema 2,1
Uma circunferência de raio square root of, 13, end square root tem o seu centro em left parenthesis, minus, 9, comma, 3, ;, 4, comma, 1, right parenthesis.
Escreve a equação desta circunferência.

Queres resolver mais exercícios como este? Vê este exercício.

Exercício 3: Usar a equação da circunferência na forma expandida

Para interpretar a equação da circunferência na forma expandida, devemos rescrevê-la na forma reduzida usando o método de "completar os quadrados."
Considera, por exemplo, o processo de rescrever a equação na forma expandida x, squared, plus, y, squared, plus, 18, x, plus, 14, y, plus, 105, equals, 0 na forma reduzida:
x2+y2+18x+14y+105=0x2+y2+18x+14y=105(x2+18x)+(y2+14y)=105(x2+18x+81)+(y2+14y+49)=105+81+49(x+9)2+(y+7)2=25(x(9))2+(y(7))2=52\begin{aligned} x^2+y^2+18x+14y+105&=0 \\\\ x^2+y^2+18x+14y&=-105 \\\\ (x^2+18x)+(y^2+14y)&=-105 \\\\ (x^2+18x\redD{+81})+(y^2+14y\blueD{+49})&=-105\redD{+81}\blueD{+49} \\\\ (x+\redD9)^2+(y+\blueD7)^2&=25 \\\\ (x-(-9))^2+(y-(-7))^2&=5^2 \end{aligned}
Agora podemos dizer que o centro da circunferência é left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis e o seu raio é 5.
Problema 3,1
x, squared, plus, y, squared, minus, 10, x, minus, 16, y, plus, 53, equals, 0
Qual é o centro desta circunferência?
left parenthesis
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
comma
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
right parenthesis
Qual é o centro desta circunferência?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
unidades

Queres resolver mais exercícios como este? Vê este exercício e este exercício.