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Conteúdo principal

Razões trigonométricas em triângulos retângulos

Aprende a calcular o seno, o cosseno e a tangente de ângulos de triângulos retângulos.
As razões entre os lados de um triângulo retângulo são chamadas razões trigonométricas. As três razões trigonométricas mais comuns são o seno (sin), o cosseno (cos), e a tangente (tan). Para o ângulo agudo A seguinte, as razões trigonométricas são:
Nestas definições, os termos cateto oposto, cateto adjacente e hipotenusa referem-se aos comprimentos dos lados.

SOH-CAH-TOA: uma maneira fácil de nos lembrarmos das razões trigonométricas

A expressão sohcahtoa ajuda-nos a recordar as definições de seno, cosseno e tangente. Vê como funciona:
Parte do acrónimoDescrição verbalDefinição matemática
S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, S, end texteno é o cateto start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textposto sobre a start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textipotenunasine, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, C, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction
C, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, start color #aa87ff, H, end color #aa87ffstart text, C, end textosseno é o cateto start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textdjacente sobre a start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end textipotenusacosine, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #ed5fa6, C, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, divided by, start text, start color #aa87ff, H, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text, end fraction
T, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6start text, T, end textangente é o cateto start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end textposto sobre o cateto start text, start color #ed5fa6, A, end color #ed5fa6, end textdjacentetangent, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals, start fraction, start text, start color #11accd, C, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text, divided by, start text, start color #ed5fa6, C, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end color #ed5fa6, end text, end fraction
Por exemplo, se nos quisermos lembrar da definição de seno, pensamos em S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff uma vez que seno começa pela letra S. O start text, start color #11accd, O, end color #11accd, end text e o start text, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, end text ajudam-nos a lembrar de que o seno é o cateto start text, start color #11accd, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text sobre a start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text!

Exemplo

Supõe que queremos calcular sine, left parenthesis, A, with, \widehat, on top, right parenthesis no triângulo open bracket, A, B, C, close bracket abaixo:
O seno é definido como a razão entre o start text, start color #11accd, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end color #11accd, end text e a start text, start color #aa87ff, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end color #aa87ff, end text left parenthesis, S, start color #11accd, O, end color #11accd, start color #aa87ff, H, end color #aa87ff, right parenthesis. Então:
sin(A^)= cateto oposto  hipotenusa=BCAB=35\begin{aligned}\sin(\widehat A)&=\dfrac{\blueD{\text{ cateto oposto }} }{ \purpleC{\text{ hipotenusa}} }\\\\ &=\dfrac{\blueD{\overline{BC}}}{\purpleC{\overline{AB}}}\\\\\\ &=\dfrac{\blueD{3}}{\purpleC{5}} \\\\\\ \end{aligned}
Aqui está outro exemplo em que é analisado um problema semelhante:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Trigonometric ratios in right trianglesVer a transcrição do vídeo

Pratica

Triângulo 1: open bracket, D, E, F, close bracket
cosine, left parenthesis, F, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

sine, left parenthesis, F, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

tangent, left parenthesis, F, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Triângulo 2: open bracket, G, H, I, close bracket
cosine, left parenthesis, G, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

sine, left parenthesis, G, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

tangent, left parenthesis, G, with, \widehat, on top, right parenthesis, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Desafio
No triângulo abaixo, qual das razões trigonométricas é igual a start fraction, a, divided by, c, end fraction?
Seleciona todas as respostas corretas: