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Geometria 2
Assunto: Geometria 2 > Tema 5
Lição 7: Utilizar razões trigonométricas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retânguloIntrodução às funções trigonométricas inversas
Aprende sobre o arcosseno, arcocosseno e arcotangente e como estas funções podem ser utilizadas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
Vamos analisar um novo tipo de problemas de trigonometria. Curiosamente, estes problemas não podem ser resolvidos com o seno, o cosseno ou a tangente.
Um problema: No triângulo abaixo, qual é a amplitude do ângulo L?
O que sabemos: Relativamente a angle, L, sabemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos escrever:
Mas isto não nos ajuda a encontrar a amplitude de angle, L. Bloqueámos!
Precisamos de: Precisamos de novas ferramentas matemáticas para resolvermos problemas como este. Os nossos velhos amigos seno, cosseno e tangente não o conseguem fazer. Eles dão-nos as razões trigonométricas de um determinado ângulo, mas precisamos de funções que nos digam a amplitude de um ângulo com determinada razão trigonométrica. Precisamos das funções trigonométricas inversas!
As funções trigonométricas inversas
Já conhecemos operações inversas. Por exemplo, a adição e a subtração são operações inversas e a multiplicação e a divisão são operações inversas. Cada operação faz o contrário da sua inversa.
A ideia é a mesma em trigonometria. As funções de trigonométricas inversas fazem o oposto das funções trigonométricas "regulares". Por exemplo:
- O inverso do seno left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o contrário do seno.
- O inverso do cosseno left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o contrário do cosseno.
- O inverso da tangente left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o contrário da tangente.
Em geral, se sabemos a razão trigonométricas mas não a amplitude do ângulo, podemos usar a respetiva função trigonométrica inversa para determinar o ângulo. Isto é representado matematicamente nas expressões abaixo.
Funções trigonométricas: o objeto é o ângulo e a imagem é a razão trigonométrica | Funções trigonométricas inversas: o objeto é a razão trigonométrica e a imagem é o ângulo | |
---|---|---|
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction | right arrow | sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction | right arrow | cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction | right arrow | tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta |
Alerta para possíveis confusões!
A expressão sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis não é o mesmo que start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Por outras palavras, o minus, 1 não é um expoente. Significa apenas que é a função inversa.
No entanto, há uma notação alternativa que evita esta armadilhal! O inverso do seno pode ser representado por \arcsin, o inverso do cosseno como \arccos e o inverso da tangente como \arctan. Esta notação é comum em programação informática mas não em matemática.
Resolução do problema introdutório
No problema introdutório, conhecemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos usar o inverso da tangente para determina a amplitude do ângulo.
Vamos tentar resolver alguns exercícios.
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