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Geometria 2

Assunto: Geometria 2 > Tema 5

Lição 7: Utilizar razões trigonométricas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retângulo
Matemática
Geometria 2
Triângulos retângulos e trigonometria
Utilizar razões trigonométricas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retângulo
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Introdução às funções trigonométricas inversas

Google Classroom
Aprende sobre o arcosseno, arcocosseno e arcotangente e como estas funções podem ser utilizadas para determinar a amplitude de um ângulo agudo de um triângulo retângulo.
Vamos analisar um novo tipo de problemas de trigonometria. Curiosamente, estes problemas não podem ser resolvidos com o seno, o cosseno ou a tangente.
Um problema: No triângulo abaixo, qual é a amplitude do ângulo L?
O que sabemos: Relativamente a angle, L, sabemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos escrever:
tangent, left parenthesis, L, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, equals, start fraction, 35, divided by, 65, end fraction
Mas isto não nos ajuda a encontrar a amplitude de angle, L. Bloqueámos!
Precisamos de: Precisamos de novas ferramentas matemáticas para resolvermos problemas como este. Os nossos velhos amigos seno, cosseno e tangente não o conseguem fazer. Eles dão-nos as razões trigonométricas de um determinado ângulo, mas precisamos de funções que nos digam a amplitude de um ângulo com determinada razão trigonométrica. Precisamos das funções trigonométricas inversas!

As funções trigonométricas inversas

Já conhecemos operações inversas. Por exemplo, a adição e a subtração são operações inversas e a multiplicação e a divisão são operações inversas. Cada operação faz o contrário da sua inversa.
A ideia é a mesma em trigonometria. As funções de trigonométricas inversas fazem o oposto das funções trigonométricas "regulares". Por exemplo:
  • O inverso do seno left parenthesis, sine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o contrário do seno.
  • O inverso do cosseno left parenthesis, cosine, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o contrário do cosseno.
  • O inverso da tangente left parenthesis, tangent, start superscript, minus, 1, end superscript, right parenthesis faz o contrário da tangente.
Em geral, se sabemos a razão trigonométricas mas não a amplitude do ângulo, podemos usar a respetiva função trigonométrica inversa para determinar o ângulo. Isto é representado matematicamente nas expressões abaixo.
Funções trigonométricas: o objeto é o ângulo e a imagem é a razão trigonométricaFunções trigonométricas inversas: o objeto é a razão trigonométrica e a imagem é o ângulo
sine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrowsine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
cosine, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fractionright arrowcosine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, divided by, start text, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta
tangent, left parenthesis, theta, right parenthesis, equals, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fractionright arrowtangent, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, start fraction, start text, c, a, t, e, t, o, space, o, p, o, s, t, o, end text, divided by, start text, c, a, t, e, t, o, space, a, d, j, a, c, e, n, t, e, end text, end fraction, right parenthesis, equals, theta

Alerta para possíveis confusões!

A expressão sine, start superscript, minus, 1, end superscript, left parenthesis, x, right parenthesis não é o mesmo que start fraction, 1, divided by, sine, left parenthesis, x, right parenthesis, end fraction. Por outras palavras, o minus, 1 não é um expoente. Significa apenas que é a função inversa.
No entanto, há uma notação alternativa que evita esta armadilhal! O inverso do seno pode ser representado por \arcsin, o inverso do cosseno como \arccos e o inverso da tangente como \arctan. Esta notação é comum em programação informática mas não em matemática.

Resolução do problema introdutório

No problema introdutório, conhecemos os comprimentos dos catetos oposto e adjacente, pelo que podemos usar o inverso da tangente para determina a amplitude do ângulo.
L^=tan⁡−1( cateto oposto  cateto adjacente )Definiça˜o.L^=tan⁡−1(3565)Substituiça˜o dos valores.L^≈28,30∘Utilizaça˜o da calculadora.\begin{aligned} { \widehat{L}}&=\tan^{-1} \left(\dfrac{\text{} \blueD{\text{ cateto oposto }} }{\text{}\maroonC{\text{ cateto adjacente} }\text{ }} \right)\quad\small{\gray{\text{Definição.}}} \\\\ \widehat{L}&=\tan^{-1}\left(\dfrac{\blueD{35}}{\maroonC{65}}\right)\quad\small{\gray{\text{Substituição dos valores.}}} \\\\ \widehat{L} &\approx 28,30^\circ \quad\small{\gray{\text{Utilização da calculadora.}}}\end{aligned}

Vamos tentar resolver alguns exercícios.

Problema 1
Dado triangle, K, I, P, determina I, with, \widehat, on top.
Arredonda a tua resposta às centésimas do grau.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 2
Dado triangle, D, E, F, determina E, with, \widehat, on top.
Arredonda a tua resposta às centésimas do grau.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Problema 3
Dado triangle, L, Y, N, determina Y, with, \widehat, on top.
Arredonda a tua resposta às centésimas do grau.
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

Desafio
Resolve o triângulo. Ou seja, determina todos os comprimentos dos lados e as amplitudes dos ângulos desconhecidas.
Apresenta as tuas respostas arredondadas às centésimas.
start overline, O, E, end overline, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
O, with, \widehat, on top, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees
Z, with, \widehat, on top, equals
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7, slash, 4
  • uma fração como 7, slash, 4
  • um número decimal exato como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degrees

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