Introdução às rotações

Na figura abaixo, uma cópia de um trapezóide está a girar à volta de um ponto.

Em geometria, as rotações fazem os objectos girar à volta de um ponto central. Observa que a distância de cada ponto rotacional ao centro permanece constante. Apenas a posição relativa muda.

Na figura abaixo, uma cópia de um octágono foi girada $22\degree$22, degree ao redor do ponto.

Repara como os lados do octágono mudam de direção, mas a forma da figura permanece a mesma. A rotação não deforma as figuras, apenas as faz rodar. Para além disso, repara que o vértice que funciona como centro da rotação não se move de todo.

Agora que temos uma compreensão básica do que são rotações, vamos aprender a usá-las de uma forma mais rigorosa.

Uma rotação é definida por dois parâmetros importantess: o centro da rotação —que já abordámos— e o ângulo da rotação. O ângulo determina quanto é que rodamos o plano em torno do centro.

Por exemplo, podemos dizer que $\maroonD{A'}$start color #ca337c, A, prime, end color #ca337c é o que resulta de rodar $\blueD{A}$start color #11accd, A, end color #11accd em torno de $P$P, mas isso não é rigoroso o suficiente.

Para definir o valor da rotação, observamos o ângulo que se forma entre os segmentos de reta $\overline{PA}$start overline, P, A, end overline e $\overline{PA'}$start overline, P, A, prime, end overline.

Desta forma, podemos dizer que $\maroonD{A'}$start color #ca337c, A, prime, end color #ca337c é o resultado da rotação de $\blueD{A}$start color #11accd, A, end color #11accd segundo um ângulo de $45\degree$45, degree em torno de $P$P.

É assim que numeramos quadrantes do plano cartesiano.

Os números dos quadrantes aumentam à medida que nos movemos no sentido anti-horário. Medimos os ângulos da mesma maneira para sermos consistentes.

Por convenção, amplitudes de ângulos positivos descrevem rotações em sentido anti-horário, ou seja, sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Se quisermos descrever uma rotação no sentido horário, no sentido dos ponteiros do relógio, usamos amplitudes de ângulos negativos.

Por exemplo, este é o resultado de rodar em torno de $P$P segundo um ângulo de $-30\degree$minus, 30, degree.

Em qualquer transformação, temos a figura original, que é a figura onde estamos a aplicar a transformação, e a imagem, que é a figura que resulta da transformação. Por exemplo, nesta rotação, o ponto original era $\blueD{A}$start color #11accd, A, end color #11accd, e a imagem é $\maroonD{A'}$start color #ca337c, A, prime, end color #ca337c.

Observa que nomeamos a imagem por $\maroonD{A'}$start color #ca337c, A, prime, end color #ca337c (pronuncia-se "Á linha"). É comum, ao trabalhar com transformações, usar a mesma letra para a figura original e a figura transformada, adicionando apenas o sufixo "linha"