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Geometria 2
Rotação de formas ao redor da origem por múltiplos de 90°
Aprender a desenhar a imagem de uma forma dada com uma rotação dada sobre a origem por qualquer múltiplo de 90°.
Introdução
Neste artigo vamos praticar a arte da rotação de figuras. Matematicamente falando, vamos aprender a desenhar uma imagem com uma certa forma após lhe ser aplicada uma certa rotação.
Este artigo foca-se nas rotações por múltiplos de 90, degrees, tanto no sentido direto (contrário ao dos ponteiros do relógio) como indireto (dos ponteiros do relógio).
Parte 1: Rotação de pontos por 90, degrees, 180, degrees, e minus, 90, degrees
Vamos estudar um problema exemplo
Queremos encontrar a imagem A, prime do ponto A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis pela rotação de 90, degrees em torno da origem.
Comecemos por visualizar o problema. Rotações no sentido direto possuem o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Assim, a nossa rotação será algo como isto:
Boa, conseguimos estimar A, prime graficamente. Mas agora precisamos de encontrar as coordenadas exatas. Há duas maneiras de conseguir isto.
Método 1: Abordagem visual
Podemos imaginar um retângulo que tem um vértice na origem com o vértice oposto em A.
Uma rotação de 90, degrees é como colocar o retângulo de lado:
Podemos ver que a imagem de A, left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis pela rotação é A, prime, left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis.
Repara que é mais fácil rodar os pontos que estão em cima dos eixos, e estes pontos ajudam-nos a encontrar a imagem de A:
| Ponto | left parenthesis, 3, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis | left parenthesis, 3, comma, 4, right parenthesis |
|---|---|---|---|
| Imagem | left parenthesis, 0, comma, 3, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 0, right parenthesis | left parenthesis, minus, 4, comma, 3, right parenthesis |
Método 2: abordagem algébrica
Vejamos os pontos A e A, prime:
| Ponto | x | y |
|---|---|---|
| A | start color #01a995, 3, end color #01a995 | start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff |
| A, prime | minus, start color #aa87ff, 4, end color #aa87ff | start color #01a995, 3, end color #01a995 |
Repara que a abcissa de A, prime é o simétrico da ordenada de A e a ordenada de A, prime é a abcissa de A.
Podemos representar isto matematicamente da seguinte forma:
É possível demonstrar que isto é verdade para qualquer ponto e não apenas para o nosso ponto A. Mais alguns exemplos:
É possível demonstrar que as rotações de 180, degrees e minus, 90, degrees se comportam de maneira semelhante:
Podemos aplicar estas rotações a qualquer ponto simplesmente substituindo as variáveis da equação pelas suas coordenadas.
Agora é a tua vez!
Exercício 1
Exercício 2
Método gráfico vs. método algébrico
Em geral, qualquer um pode escolher entre os dois métodos. É uma questão de preferência!
O método algébrico é mais rápido e menos trabalhoso, mas precisas de te lembrar das fórmulas. No método gráfico não há fórmulas a reter, mas podes demorar mais tempo a resolver o problema.
Parte 2: Generalização para qualquer múltiplo de 90, degrees
Vamos estudar um problema exemplo
Queremos encontrar a imagem D, prime do ponto D, left parenthesis, minus, 5, comma, 4, right parenthesis pela rotação de 270, degrees em torno da origem.
Solução
Uma vez que rodar por 270, degrees é o mesmo que rodar por 90, degrees três vezes, podemos resolver graficamente ao aplicar três rotações de 90, degrees consecutivamente:
Mas espera! Poderíamos rodar por minus, 90, degrees em vez de 270, degrees. Estas rotações são equivalentes. Repara:
Pela mesma razão, podemos usar a fórmula R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, minus, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, minus, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Vamos estudar outro problema-exemplo
Queremos encontrar a imagem de left parenthesis, minus, 9, comma, minus, 7, right parenthesis pela rotação de 810, degrees em torno da origem.
Solução
Uma rotação de 810, degrees é igual a duas rotações de 360, degrees seguidas de uma rotação de 90, degrees (visto que 810, equals, 2, dot, 360, plus, 90).
Uma rotação de 360, degrees transforma qualquer ponto nele próprio. Ou seja, não causa qualquer alteração.
Assim, uma rotação de 810, degrees é igual a uma rotação de 90, degrees. Logo, podemos simplesmente usar a fórmula R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 90, degrees, end subscript, left parenthesis, start color #01a995, x, end color #01a995, comma, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, left parenthesis, minus, start color #aa87ff, y, end color #aa87ff, comma, start color #01a995, x, end color #01a995, right parenthesis:
Agora é a tua vez!
Exercício 1
Exercício 2
Part 3: Rotações em polígonos
Vamos estudar um problema exemplo
Considera o quadrilátero open bracket, D, E, F, G, close bracket da figura abaixo. Vamos desenhar a sua imagem, open bracket, D, prime, E, prime, F, prime, G, prime, close bracket, pela rotação R, start subscript, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, comma, 270, degrees, end subscript.
Solução
Tal como acontece com translações, para aplicar uma rotação a um polígono basta transformar todos os seus vértices, e depois conectar os vértices para chegar à imagem do polígono.
Agora é a tua vez!
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