Se está a ver esta mensagem, significa que estamos a ter problemas a carregar recursos externos no nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Volume de uma pirâmide ou cone

De onde vem os 1/3 na fórmula do volume de uma pirâmide? Como se relaciona com o volume de um cone?

O que são pirâmides e cones?

Uma pirâmide é um sólido geométrico constituído por uma base poligonal e por faces laterais que são triângulos. Estes triângulos têm um ponto em comum que é o vértice da pirâmide e que está num plano diferente da base.
Outra forma de pensar numa pirâmide é como uma coleção de todas as homotetias da base com o vértice como centro de homotetia, com razões de 0 a 1.
Um cone é uma figura comum semelhante a uma pirâmide na qual a base é um círculo ou outra forma curva fechada em vez de um polígono. Um cone tem uma superfície lateral curva em vez de várias faces triangulares, mas quando se trata de volume, um cone e uma pirâmide são semelhantes.

Volume de uma pirâmide

A fórmula do volume V de uma pirâmide é V=13(área da base)(altura). De onde vem essa fórmula?

De onde vem o 13 da fórmula?

Supõe que começamos com um cubo com um lado de 1 unidade de comprimento. Podemos dividir esse cubo em 3 pirâmides congruentes.
Problema 1
Qual é o volume de cada pirâmide?
  • A tua resposta deve ser
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
unidades cúbicas

Pirâmides

Dada uma pirâmide de volume Voriginal, podemos obter o volume, de uma nova pirâmide, que resulta de multiplicarmos as três dimensões da pirâmide original pelos fatores r, s e t, fazendo Vcópia= Voriginalrst.
Problema 2
Em baixo está a nova pirâmide obtida através da pirâmide quadrada anterior multiplicando as três dimensões por cada fator.
Qual é o volume da pirâmide com base retangular?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
cm3

Ideia chave: O volume da pirâmide ainda é 13 do volume do prisma que a inclui, mesmo depois de alterarmos as suas dimensões.

Deslizar as camadas

Imagina que cortamos a pirâmide em camadas paralelas à sua base. Podemos deslizar essas camadas sem alterar o volume. Quando o número de camadas se aproxima do infinito, a nossa pirâmide alterada fica mais suave.
O princípio de Cavalieri diz que se não alterarmos a altura ou as áreas das secções transversais da pirâmide que são paralelas à base, o volume também não será alterado! Podemos usar a mesma fórmula para o volume da pirâmide, não importa para onde movamos o vértice.
Problema 3
Qual é o volume da pirâmide?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
m2

Alteração da forma da base

Há outra aplicação realmente fascinante do princípio de Cavalieri em pirâmides. Duas bases podem ter a mesma área e formas completamente diferentes. Se a altura e a área da base de duas pirâmides ou de sólidos
forem iguais, então o volume deles também é, pois as áreas de todas as restantes secções transversais paralelas à base também têm de ser iguais.
Portanto, a nossa fórmula Vpirâmide=13(área da base)(altura) funciona, não importa qual seja a forma 2D da base.
Problema 4.1
A seguinte pirâmide tem um triângulo retângulo isósceles como base.
Qual é o volume da pirâmide?
  • A tua resposta deve ser
  • um número inteiro como 6
  • uma fração própria simplificada, como por exemplo 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como por exemplo 7/4
  • uma fração como 7/4
  • um número decimal exato como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
cm3

Como obter 13 de outra forma

Outra forma que matemáticos como tu usaram para se convencerem que o volume de uma pirâmide é 13 do volume do prisma que a contém é a aproximação do volume usando prismas.
Podemos modelar uma pirâmide como uma pilha de prismas, como se a construção da pirâmide fosse feita de blocos. Este modelo tem um volume maior que o volume da pirâmide. Conforme as camadas ficam mais finas, mais nos aproximamos do volume da pirâmide.
Número de camadasVolume da aproximação da pirâmide de blocosVolume do prisma
40,469
160,365
640,341
2560,335
10240,334
40960,333
13
Como as figuras semelhantes a um prisma podem ter qualquer figura 2D fechada como base e podemos deslizar os prismas sem alterar o volume deles, a razão é válida para todas as figuras semelhantes a uma pirâmide, incluindo os cones.

Queres participar na conversa?

Ainda não há comentários.
Sabes inglês? Clica aqui para veres mais debates na versão inglesa do site da Khan Academy.