Provar que o declive é constante

É costume dizerem-nos, nas aulas de matemática, que se tivermos uma reta, a nossa reta terá uma razão constante entre a variação do y e a variação do x. Ou noutra forma de pensarmos sobre isto, que a nossa reta terá uma inclinação constante, ou que a nossa reta terá um declive constante. E o nosso declive é literalmente definido como a variação em y… este triângulo é a letra grega delta, é uma abreviatura para variação... Significa a variação em y… delta y representa variação em y… sobre a variação em x. E se estamos a trabalhar com uma reta, isto aqui é constante... constante para uma reta. O que eu quero fazer neste vídeo é na realidade demonstrar isso mesmo, usando triângulos semelhantes da geometria. Então, vamos pensar sobre 2 conjuntos de 2 pontos. Vamos supor que temos ali um ponto. Deixem-me fazer numa cor diferente. Deixem-me começar neste ponto. E deixem-me terminar neste ponto. Então, qual é a variação em x entre estes 2 pontos? O valor de x deste ponto está aqui. O valor de x deste ponto está aqui. Então, a variação em x... a variação em x será aquela ali. E qual é a variação em y? Bom, o valor de y deste ponto está aqui. O valor de y deste ponto está aqui. Então, esta altura é a variação em y. Isto é a variação em y. Agora, vamos observar outros 2 pontos. Digamos que temos este ponto e este outro ponto aqui. E vamos fazer o mesmo exercício. Qual é a variação em x? Bem, vamos ver… o valor x deste ponto está aqui. O valor x deste outro ponto é aqui. Então, se começarmos aqui e formos até aqui, isto será... isto será a variação em x entre este ponto e este ponto. E isto será a variação… deixem-me fazer isto na mesma cor verde. Isto será a variação em x entre aqueles dois pontos. E a nossa variação em y… o valor de y está aqui. Este valor de y aqui. Então, a nossa variação em y será isto aqui. Então, o que temos que mostrar… estou apenas a selecionar 2 pontos arbitrariamente. Temos que mostrar que a razão entre esta variação em y e esta variação em x será a mesma que a razão entre esta variação em y e esta variação em x. Ou a razão entre este lado rosa e este lado verde será a mesma que a razão entre este lado rosa e este lado verde. Lembrem-se, estamos a selecionar arbitrariamente 2 conjuntos de pontos. E vou mostrar isso através da semelhança de triângulos. Se conseguir mostrar que este triângulo é semelhante a este triângulo, então ficamos com tudo o que precisamos. E apenas para lembrar o que é semelhança... 2 triângulos são semelhantes… e existem várias formas de pensar sobre isso… são semelhantes se e só se todos os três ângulos correspondentes forem iguais, ou congruentes. Todos os 3… e deixem-me ser cauteloso aqui. Não têm que ser exatamente os mesmos ângulos. Os ângulos correspondentes têm de ser os mesmos. Então, ângulos correspondentes… ângulos correspondentes são iguais. Ou podemos dizer que são congruentes... congruentes. Por exemplo, se tivermos este triângulo... E isto é 30, isto é 60, e isto é 90. E tenho este outro triângulo aqui... Vou tentar desenhá-lo… então tenho este triângulo, em que isto é 30 graus, isto é 60 graus, e isto é 90 graus. Embora os comprimentos dos seus lados sejam diferentes, estes serão triângulos semelhantes. Diferem apenas por um fator de escala. Todos os ângulos correspondentes… 60 corresponde a este 60, 30 corresponde a este 30, e 90 corresponde a este... Então, estes 2 triângulos são semelhantes. E o que é claro sobre triângulos semelhantes… se conseguirmos mostrar que 2 triângulos são semelhantes, então a razão entre comprimentos de lados correspondentes será a mesma. Se estes 2 são semelhantes, então a razão entre o comprimento deste lado e o deste lado será a mesma que a razão entre… deixem-me fazer a cor rosa… entre o comprimento deste lado e o deste lado. E então podem ver porque razão aquilo será útil para provar que o declive aqui é constante, porque o que temos que fazer é… vejam, se estes 2 triângulos são semelhantes, então a razão entre o comprimento dos lados correspondentes será sempre a mesma. Escolhemos arbitrariamente 2 conjuntos de pontos. Na realidade isto será verdade para quaisquer 2 conjuntos arbitrários de pontos ao longo da reta. Será verdade para toda a reta. Então, vamos provar a semelhança. A primeira coisa que sabemos é que ambos os triângulos são retângulos. Estas linhas verdes são perfeitamente horizontais. Estas linhas roxas são perfeitamente verticais, porque as linhas verdes vão literalmente na direção horizontal. Estas linhas roxas vão na direção vertical. Ddeixem-me marcar isso de forma clara. Então, sabemos que que ambos são ângulos retos. Portanto, temos 1 par de ângulos correspondentes que são congruentes. Agora temos que demonstrar que os outros também são. E podemos mostrar que os outros são, usando os nossos conhecimentos de retas paralelas e secantes. Deixem-me olhar para estas duas retas verdes. Vou prolongá-las. Estes são segmentos de reta mas, se os prolongarmos, e continuarmos a prolongar, obtemos retas. Deixem-me fazer isso, tal como aqui. Então esta reta é claramente paralela àquela. São perfeitamente horizontais. E agora podemos ver esta reta laranja como uma secante. E se a virem como secante, então sabem que este ângulo corresponde a este ângulo. E sabemos que numa secante a retas paralelas, os ângulos correspondentes são congruentes. Então, este ângulo será congruente com aquele ângulo ali. E podemos usar um argumento semelhante para este ângulo, mas agora usamos as 2 retas verticais. Sabemos que este segmento, podemos prolongar como uma reta. Podemos prolongá-lo, se quisermos, como uma reta, assim, uma reta vertical. E podemos continuar esta como uma reta vertical. Sabemos que são ambas verticais. Estão exatamente na direção y, a direção vertical. Então, esta reta… esta reta é paralela a esta reta aqui. Mais uma vez, a nossa reta laranja é uma secante... é uma secante. E este ângulo corresponde a este ângulo aqui. E aqui temos. São congruentes. Ângulos correspondentes de uma secante a duas retas paralelas são congruentes. Aprendemos isso nas aulas de geometria. E aqui temos. Todos os ângulos correspondentes… este ângulo é congruente com este ângulo. Este ângulo é congruente com aquele ângulo. E estes têm ambos uma amplitude de 90 graus. Então, estes dois triângulos são semelhantes. São semelhantes. Deixem-me escrever isto. Sabemos que são triângulos semelhantes... triângulos semelhantes. E agora podemos usar a razão comum entre os lados de ambos. Por exemplo, se dissermos... se dissermos que o comprimento deste lado é «a». E dissermos que o comprimento deste lado é «b». E dissermos que este lado tem comprimento «c». E este tem comprimentos «d». Sabemos, de facto, que a razão… porque estes são triângulos semelhantes… a razão entre o comprimento de lados correspondentes, a razão entre «a» e «b»... a razão entre «a» e «b» será igual à razão entre «c» e «d»... é igual à razão entre «c» e «d». E essa razão é literalmente a definição de declive, a variação em y sobre a variação em x. E isto é constante porque quaisquer triângulos retângulos construídos entre dois pontos, demonstrámos que serão semelhantes. E se são semelhantes, então a razão entre o comprimento deste segmento de reta vertical e o comprimento deste segmento de reta horizontal será constante. Isto é a definição de declive. Então o declive é constante para uma reta.