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Geometria 2

Assunto: Geometria 2 > Tema 6

Lição 1: Distância e ponto médio

Fórmula da distância

Dedução da fórmula geral para o cálculo da distância entre dois pontos.

A start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, end color #11accd entre os pontos left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis e left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis é dada pela seguinte fórmula:

square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root

Neste artigo, vamos deduzir esta fórmula!

Dedução da fórmula da distância

Vamos começar por representar graficamente os pontos left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis e left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, end color #1fab54, comma, start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis.

O comprimento do segmento entre os dois pontos é a start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, end color #11accd entre eles:

Queremos encontrar a start color #11accd, start text, d, i, s, t, a, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, end color #11accd. Se desenharmos um triângulo retângulo, poderemos usar o Teorema de Pitágoras!

Uma expressão para o comprimento da base é start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54:

[Porque é que esta expressão funciona?]

Do mesmo modo, uma expressão para o comprimento da altura é start color #e07d10, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10:

Agora podemos usar o Teorema de Pitágoras para escrever uma equação:

start color #11accd, question mark, end color #11accd, squared, equals, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared

Podemos resolver em ordem a start color #11accd, question mark, end color #11accd calculando a raiz quadrada de cada membro:

start color #11accd, question mark, end color #11accd, equals, square root of, left parenthesis, start color #1fab54, x, start subscript, 2, end subscript, minus, x, start subscript, 1, end subscript, end color #1fab54, right parenthesis, squared, plus, start color #e07d10, left parenthesis, y, start subscript, 2, end subscript, minus, y, start subscript, 1, end subscript, end color #e07d10, right parenthesis, squared, end square root

Já está! Deduzimos a fórmula da distância!

Curiosamente, muitas pessoas nem sequer decoram esta fórmula. Em vez disso, constroem um triângulo retângulo e usam o Teorema de Pitágoras sempre que querem saber a distância entre dois pontos.

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