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Geometria (todo o conteúdo)

Assunto: Geometria (todo o conteúdo) > Tema 10

Lição 7: Propriedades e definições de transformações

Definir rotações com precisão

Lê um diálogo onde um aluno e um professor procuram encontrar definir rotações tão precisamente quanto possível.

O diálogo seguinte ocorre entre um professor e um aluno. O objetivo deles é descrever uma rotação qualquer usando linguagem matemática precisa. Como verás, o aluno terá de rever a sua definição várias vezes para a tornar mais e mais precisa. Diverte-te!

Professor:

Hoje vamos tentar descrever o que uma rotação faz de maneira geral.

Temos uma rotação de

θ

graus em torno de um ponto

P

. Como descreveriam o efeito desta rotação noutro ponto

A

Aluno:

Como assim, professor? Como posso saber o que a rotação faz a

A

se não sei nada sobre ela?

Professor:

É verdade que não sabes nada sobre esta rotação em particular, mas todas as rotações se comportam da mesma forma. Consegues pensar nalguma forma de descrever o que esta rotação faz a

A

Aluno:

Hmmmm... Deixe cá ver... Bem, talvez

A

se mova para uma posição diferente em relação a

P

. Por exemplo, se

A

estiver à direita de

P

, pode ficar acima de

P

com a rotação. Depende do quão grande

θ

é.

Professor:

Perfeito. Podemos descrever o que disseste desta forma:

Suponham que a rotação transforma $A$ ‍ no ponto $B$ ‍, então o ângulo entre os segmentos de reta $[P A]$ ‍ e $[P B]$ ‍ é $θ$ ‍.

Aluno:

Sim, concordo.

Professor:

No entanto, lembra-te de que em matemática temos de ser muito precisos. Existe só uma maneira de criar um ângulo

∠ P

igual a

θ

Aluno:

Deixe-me pensar... Não! Há duas maneiras de criar esse ângulo: no sentido direto e no sentido indireto.

Professor:

Certo! As rotações são feitas no sentido direto, e a nossa definição tem de ter isso em conta:

Uma rotação de $θ$ ‍ graus em torno do ponto $P$ ‍ leva qualquer ponto $A$ ‍ no sentido direto até a um ponto $B$ ‍ onde $A \hat{P} B = θ$ ‍.

Obviamente, se

θ

tiver amplitude negativa, a rotação será no outro sentido, ou seja, no sentido indireto.

Aluno:

Boa. Já está tudo?

Professor:

Diz-me tu. A definição tem de deixar absolutamente claro para onde

A

é transformado. Isto é, tem de haver apenas um ponto que corresponda à descrição de

B

Existe apenas um ponto que cria um ângulo direto igual a

θ

Aluno:

Acho que sim... Não, espere! Há vários pontos que criam este ângulo! Qualquer ponto na semirreta

\dot{P} B

faz um ângulo de amplitude

θ

com

A

Professor:

Excelente observação! Então, consegues melhorar a tua definição?

Aluno:

Sim. Para além de o ângulo ser igual a

θ

, a distância a

P

deve manter-se. Penso que podemos definir isto matematicamente como

\overset{―}{P A} = \overset{―}{P B}

Professor:

Boa! Podemos resumir o nosso trabalho na seguinte definição:

Uma rotação de $θ$ ‍ graus em torno de $P$ ‍ move um ponto arbitrário $A$ ‍ no sentido direto para um ponto $B$ ‍ tal que $\overset{―}{P A} = \overset{―}{P B}$ ‍ e $A \hat{P} B = θ$ ‍.

Aluno:

Uau, que precisão!

Professor:

É verdade. Como um extra, vou mostrar-vos outra maneira de definir rotações:

Uma rotação de $θ$ ‍ graus em torno de $P$ ‍ move qualquer ponto $A$ ‍ no sentido direto para um ponto $B$ ‍ tal que tanto $A$ ‍ como $B$ ‍ estão na mesma circunferência centrada em $P$ ‍ e $A \hat{P} B = θ$ ‍.

Aluno:

Isso também funciona porque todos os pontos da circunferência estão à mesma distância do centro.

Professor:

Exatamente! A grande diferença entre as duas definições é que a primeira recorre a segmentos de reta e a segunda a uma circunferência.

Aluno:

Boa. E agora, já está tudo?

Professor:

Sim. Conseguimos definir as rotações da maneira mais precisa possível.

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