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Assunto: Geometria (todo o conteúdo) > Tema 14

Lição 7: Ângulos inscritos

Demonstração do teorema do ângulo inscrito

Demonstração de que a amplitude de um ângulo inscrito é metade da amplitude de um ângulo ao centro correspondente ao mesmo arco.

Primeiros passos

Antes de começarmos a falar da prova, vamos certificar-nos de que conhecemos alguns termos esquisitos sobre círculos.

Vamos usar três letras para designar os seguintes termos: o ângulo ao centro, o arco que é intersetado e o ângulo inscrito que interseta o mesmo arco.

Usa a imagem abaixo para atribuir as variáveis aos termos respetivos.

1

Um ângulo é um

ângulo ao centro

quando o seu vértice é o centro do círculo, tal como o ângulo

θ

representado na figura.

Um ângulo é um

ângulo inscrito

quando o seu vértice está no círculo, tal como o ângulo

ψ

representado na figura.

Os raios dos ângulos ao centro e inscrito intersetam parte da circunferência. A essa parte da circunferência chamamos

arco intersetado

Bom trabalho! Vamos usar estes termos no resto do artigo.

Aquilo que vamos demonstrar

Estamos prestes a demonstrar o que acontece quando um ângulo inscrito

(ψ)

e um ângulo ao centro

(θ)

intersetam o mesmo arco: A medida do ângulo ao centro é o dobro da medida do ângulo inscrito.

θ = 2 ψ

Visão geral da demonstração

Para demonstrar que

θ = 2 ψ

para todo o

θ

ψ

(tal como definimos acima), precisamos de considerar três casos separados:

Caso A	Caso B	Caso C

Juntos, estes casos correspondem a todas as situações possíveis onde um ângulo inscrito e um ângulo ao centro intersetam o mesmo arco.

Caso A: O diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, $ψ$ ‍

Passo 1: Encontrar o triângulo isósceles.

Os segmentos

[B C]

[B D]

são ambos raios, portanto têm o mesmo comprimento. Isto significa que

[C B D]

é isósceles, o que também significa que os ângulos da base são congruentes:

\hat{C} = \hat{D} = ψ

Passo 2: Encontrar o ângulo raso.

O ângulo

∠ A B C

é raso, portanto

\begin{aligned} θ + D \hat{B} C & = 180^{\circ} \\ D \hat{B} C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Passo 3: Escreve uma equação e resolve em ordem a $ψ$ ‍.

Os ângulos internos de

[C B D]

são

ψ

ψ

, e

(180^{\circ} - θ)

, e sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é

180^{\circ}

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Boa. Completámos a nossa demonstração para o Caso A. Só faltam mais dois casos!

Caso B: O diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, $ψ$ ‍

Passo 1: Traça um diâmetro.

Usando o diâmetro, vamos dividir

ψ

ψ_{1}

ψ_{2}

θ

θ_{1}

θ_{2}

da seguinte forma:

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

No nosso diagrama, o diâmetro divide o círculo em duas metades. Cada metade tem um ângulo inscrito com um raio no diâmetro. Esta é a mesma situação do caso Caso A, portanto sabemos que

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

dado o que aprendemos Caso A.

Passo 3: Deduzir a fórmula.

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & Adicionar (1) e (2) \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Agrupar as variáveis \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} e ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

O Caso B está completo. Já só sobra um caso!

Caso C: O diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito

Passp 1: Traça o diâmetro.

Usando o diâmetro, vamos criar dois ângulos novos:

θ_{2}

ψ_{2}

da seguinte forma:

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

De forma semelhante ao que fizemos no Caso B, criámos um diagrama que nos permite fazer uso daquilo que aprendemos no Caso A. A partir deste diagrama, sabemos o seguinte:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Passo 3: Substitui e simplifica.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

E parabéns! Demonstrámos que

θ = 2 ψ

nos três casos.

Vamos recapitular

O nosso objetivo inicial era demonstrar que a medida do ângulo ao centro é o dobro da medida de um ângulo inscrito, quando ambos intersetam o mesmo arco.

Começámos por estabelecer três casos que, juntos, representavam todas as situações possíveis em que um ângulo inscrito e um ângulo ao centro intersetam o mesmo arco.

Caso A	Caso B	Caso C

No Caso A, encontrámos um triângulo isósceles e um ângulo raso. A partir daí, escrevemos umas equações usando

ψ

θ

. Com poucos cálculos, demonstrámos que

θ = 2 ψ

Nos casos B e C, traçámos um diâmetro:

Caso B	Caso C

Isto fez com que fosse possível usar o nosso resultado do Caso A, que foi o que fizemos. Tanto no Caso B como no Caso C, escrevemos as equações que correspondiam às variáveis nas figuras, o que foi possível apenas por causa do que já tínhamos aprendido no Caso A. Depois de termos escrito as nossas equações, fizemos alguns cálculos para mostrar que

θ = 2 ψ

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Primeiros passos

Aquilo que vamos demonstrar

Visão geral da demonstração

Caso A: O diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, ψ‍

Passo 1: Encontrar o triângulo isósceles.

Passo 2: Encontrar o ângulo raso.

Passo 3: Escreve uma equação e resolve em ordem a ψ‍ .

Caso B: O diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, ψ‍

Passo 1: Traça um diâmetro.

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

Passo 3: Deduzir a fórmula.

Caso C: O diâmetro está fora dos raios do ângulo inscrito

Passp 1: Traça o diâmetro.

Passo 2: Usa o que aprendemos no Caso A para estabelecer duas equações.

Passo 3: Substitui e simplifica.

Vamos recapitular

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Caso A: O diâmetro está ao longo de um raio do ângulo inscrito, $ψ$ ‍

Passo 3: Escreve uma equação e resolve em ordem a $ψ$ ‍.

Caso B: O diâmetro está entre os raios do ângulo inscrito, $ψ$ ‍