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Assunto: Geometria (todo o conteúdo) > Tema 14

Lição 3: Comprimento do arco (em graus)

Desafio: Comprimento de um arco 1

Resolve quatro problemas desafiantes onde é pedido que calcules o comprimento do arco, sem que seja dada, diretamente, a medida do arco.

Problema 1

Na figura abaixo,

[D B]

[A C]

são diâmetros do círculo de centro em

P

. O comprimento de

[P B]

é 8 unidades.

Qual é o comprimento do arco $\overset{⌢}{D C}$ ‍?

Estamos a tentar descobrir o comprimento da parte da circunferência de centro

P

que começa no ponto

D

e termina no ponto

C

O comprimento do arco é proporcional à amplitude do ângulo ao centro correspondente. Portanto, primeiro temos de encontrar o perímetro do círculo.

[P B]

é um raio, portanto o raio do círculo é igual a

8

$\begin{aligned} Perímetro & = 2 π r \\ = 2 π \times 8 \\ = 16 π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco é igual à medida do ângulo ao centro correspondente.

Como

[C A]

é um diâmetro, os ângulos

∠ C P D

∠ D P A

são suplementares.

$C \hat{P} D + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ ‍

A medida do arco

\overset{⌢}{D C}

120^{\circ}

Finalmente, podemos estabelecer uma proporção para calcular a parte do perímetro que é intersetada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{Comprimento do arco}{Perímetro do círculo} & = \frac{Amplitude do arco}{Ângulo giro} \\ \frac{Comprimento do arco}{16 π} & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Comprimento do arco & = \frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 16 π \\ = \frac{16}{3} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento do arco

\overset{⌢}{D C}

\frac{16}{3} π

Problema 2

Na figura abaixo, o raio do círculo de centro em

P

6

unidades.

Qual é o comprimento do arco $\overset{⌢}{A B C}$ ‍
Responde de forma exata, usando $π$ ‍, ou utiliza $3, 14$ ‍ para $π$ ‍ e dá a resposta na forma de dízima.

Estamos a tentar descobrir o comprimento de parte da circunferência de centro em

P

que começa no ponto

A

, passa no ponto

B

e termina no ponto

C

O comprimento do arco é proporcional à amplitude do ângulo ao centro correspondente. Portanto, primeiro temos de encontrar o perímetro do círculo.

Sabemos que o círculo de centro

P

tem um raio de

6

unidades porque

[C P]

é um raio.

$\begin{aligned} Perímetro & = 2 π r \\ = 2 π \times 6 \\ = 12 π \end{aligned}$ ‍

A medida de um arco é igual à medida do ângulo ao centro que o interseta.

A amplitude do arco

\overset{⌢}{A B C}

é a soma do das amplitudes dos arcos

\overset{⌢}{A B}

\overset{⌢}{B C}

$111^{\circ} + 129^{\circ} = 240^{\circ}$ ‍

Finalmente, podemos estabelecer uma proporção para calcular a parte do perímetro que é intersetada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{Comprimento do arco}{Perímetro do círculo} & = \frac{Amplitudo do arco}{Ângulo giro} \\ \frac{Comprimento do arco}{12 π} & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Comprimento do arco & = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 12 π \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

O comprimento do arco

\overset{⌢}{A B C}

8 π

Problema 3

Na figura abaixo,

[B C]

é um diâmetro do círculo de centro em

P

. O comprimento de

[B P]

3

unidades.

Qual é o comprimento do arco $\overset{⌢}{A C D}$ ‍?
Responde de forma exacta, usando $π$ ‍, ou dá a resposta na forma de dízima arredondada às unidades.

Estamos a tentar encontrar o comprimento da parte da circunferência de centro

P

que começa no ponto

A

, passa no ponto

C

e termina no ponto

D

O comprimento do arco é proporcional à amplitude do ângulo ao centro correspondente. Portanto, primeiro temos de encontrar o perímetro do círculo.

Sabemos que o círculo de centro

P

tem um raio de

3

unidades, porque

[B P]

é um raio.

$\begin{aligned} Perímetro & = 2 π r \\ = 2 π \times 3 \\ = 6 π \end{aligned}$ ‍

Do diagrama, vemos que o ângulo ao centro que interseta o arco com extremidades

A

D

é igual ao ângulo giro menos

35^{\circ}

$360^{\circ} - 35^{\circ} = 325^{\circ}$ ‍

O ângulo ao centro que interseta o arco

\overset{⌢}{A C D}

é igual a

325^{\circ}

Finalmente, podemos estabelecer uma proporção para calcular a parte do perímetro que é intersetada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{Comprimento do arco}{Perímetro do círculo} & = \frac{Amplitude do arco}{Ângulo giro} \\ \frac{Comprimento do arco}{6 π} & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Comprimento do arco & = \frac{325^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 6 π \\ = \frac{65}{12} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento do arco

\overset{⌢}{A C D}

é igual a

\frac{65}{12} π

Problema 4

Na figura abaixo,

∠ A P B ≅ ∠ B P C

. O comprimento de

[P B]

4

unidades.

Calcula o comprimento do arco $\overset{⌢}{B C}$ ‍.
Responde de forma exata em termos de $π$ ‍ ou usa $3, 14$ ‍ para $π$ ‍ e dá a resposta na forma de dízima arredondada às centésimas.

Estamos a tentar descobrir o comprimento da parte da circunferência de centro em

P

, que começa no ponto

B

e termina no ponto

C

O comprimento do arco é proporcional à amplitude do ângulo ao centro correspondente. Portanto, primeiro temos de encontrar o perímetro do círculo.

Sabemos que o círculo de centro em

P

tem um raio de

4

unidades porque

[P B]

é um raio.

$\begin{aligned} Perímetro & = 2 π r \\ = 2 π \times 4 \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

A medida do arco é igual à medida do ângulo ao centro correspondente.

A soma dos ângulos ao centro é igual a

360^{\circ}

. Sabemos que os ângulos

∠ A P B

∠ B P C

são congruentes.

$\begin{array}{r} A \hat{P} B + B \hat{P} C + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ 2 \times B \hat{P} C + 152^{\circ} = 360^{\circ} \\ B \hat{P} C = 104^{\circ} \end{array}$ ‍

Como

B \hat{P} C = 104^{\circ}

, o arco

\overset{⌢}{B C}

mede

104^{\circ}

Finalmente, podemos estabelecer uma proporção para calcular a parte do perímetro que é intersetada por esse ângulo.

$\begin{aligned} \frac{Comprimento do arco}{Perímetro do círculo} & = \frac{Amplitude do arco}{Ângulo giro} \\ \frac{Comprimento do arco}{8 π} & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \\ Comprimento do arco & = \frac{104^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot 8 π \\ = \frac{104}{45} π \end{aligned}$ ‍

O comprimento de

\overset{⌢}{B C}

\frac{104}{45} π

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